做题记录 26.2.27

\(\textcolor{black}\odot\) AT_agc072_e [AGC072E] Flights 2

显然离开某个位置时，要么恰好用完里程，要么到下一个点后恰好用完钱

令 \(f_u\) 表示目前在 \(u\) 里程为 \(0\) 走到 \(n\) 的最小钱数，\(g_u\) 表示目前在 \(u\) 钱数为 \(0\) 走到 \(n\) 的最小里程，初始 \(f_u=g_u=0\)，答案为 \(f_u\)

预处理 \(d_{i,j}\) 表示两点之间的最短路，考虑 \(f,g\) 的转移

从 \(f_v\) 转移到 \(f_u\)，显然是从 \(u\) 直接走到 \(v\) 且在 \(v\) 将里程全都换成钱，因此转移为

\[f_u\gets \max(f_v-d_{u,v}r_v,0)+d_{u,v}F \]

从 \(g_v\) 转移到 \(g_u\)，显然是在 \(u\) 将一部分里程兑换为钱，到 \(v\) 正好用光，转移为

\[g_u\gets \max(g_v-d_{u,v},0)+\frac{d_{u,v}F}{r_u} \]

从 \(f_v\) 转移到 \(g_u\)，一定是在 \(u\) 时一些里程兑换为钱，走到 \(v\) 时钱花光，然后将剩余里程兑换为钱，前一部分相当于 \(g_v\to g_u\)，因此只需要考虑 \(f_v\to g_v\)，转移为

\[g_v\gets \frac{f_v}{r_v} \]

从 \(g_v\) 转移到 \(f_u\)，可能存在一个中间点 \(x\)，从 \(u\) 到 \(x\)，在 \(x\) 兑换一部分里程，到 \(v\) 时正好用光，显然兑换点至多一个，转移为

\[f_u\gets \max(d_{x,v}F-\min(d_{u,x},d_{u,x}+d_{x,v}-g_v)r_x,0)+d_{u,x}F \]

转移过程中 \(M+C\times F\) 不降，其中 \(M\) 为钱数，\(C\) 为里程数，可以用 \(\text{dijkstra}\) 算法

时间复杂度 \(O(\sum n^3)\)

代码

参考