做题记录 26.2.22

QOJ #1262. Justice For Everyone

按 \(a\) 从小到大重排序显然不改变答案，若 \(b\) 不是有序的显然无解，若存在 \(a_i>b_i\) 则无解

令 \(d_i=b_i-a_i\)，则操作次数为 \(t=\frac 12\sum_i d_i\)，若无法整除则无解

假定每次选择的两个位置有序，最终答案除以 \(2^t\) 即可

先考虑没有整个过程中值互不相同限制的情况

每次操作选择两个增加，此时要求选择的两个 \(a_i\) 不能相同，对其容斥，钦定 \(s\) 次操作选择了相同的 \(a_i\)，则贡献为

\[\begin{aligned} &(-1)^s \binom ts \sum_{x_{1\sim n}\in\N\mid \sum x=s} \binom{s}{x_1,x_2,\cdots,x_n} \binom{2(t-s)}{d_1-2x_1,d_2-2x_2,\cdots,d_n-2x_n}\\ =&(-1)^s \binom ts \sum_{x_{1\sim n}\in\N\mid \sum x=s} s!\cdot (2(t-s))!\prod_{i=1}^n \frac 1{x_i!(d_i-2x_i)!}\\ =&(-1)^s \binom ts s! (2(t-s))! [x^s] \prod_{i=1}^n \sum_{j\ge 0} \frac 1{j!(d_i-2j)!}x^j\\ \end{aligned} \]

令 \(c_s=(-1)^s \binom ts s! (2(t-s))!\)，\(F_v=\sum_{j\ge 0} \frac 1{j!(v-2j)!}x^j\)，则总贡献为

\[\sum_s c_s [x^s]\prod_{i=1}^n F_{d_i} \]

然后考虑题目中的情况，令 \(C(a_i\to b_i\mid 1\le i\le n)\) 表示从 \(a\) 到 \(b\) 且整个过程中值两两不同的方案数，对于排列 \(\sigma\)，若存在 \(\sigma_i\ne i\) 则 \(C(a_i\to b_{\sigma_i}\mid 1\le i\le n)=0\)，从而答案可以表示为

\[\sum_{\sigma} (-1)^{\text{sgn}(\sigma)} C(a_i\to b_{\sigma_i}\mid 1\le i\le n) \]

由此可以考虑 \(\text{LGV}\) 引理，令 \(M_{i,j}=F_{b_j-a_i}\)，则答案为 \(\sum_s c_s[x^s]\det M\)

令 \(m=\max d\)，显然 \(s=O(nm)\)，从而 \(\det M\) 需要保留 \(O(nm)\) 项，取 \(O(nm)\) 个点值后插值求出 \(\det M\) 的系数即可

时间复杂度 \(O(n^4m+n^2m^2)\)

代码

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QOJ #1840. K-onstruction

考虑加强限制，要求构造的数组内不存在 \(0\) 且总和不为 \(0\)

初始为 \(\{1\}\)，此时为 \(0\) 的子集数量为 \(1\)

考虑增量构造，设目前 \(>0\) 的数之和为 \(p\)，\(<0\) 的数之和为 \(n\)

对于一个数组，设其总和 \(\ge 0\)，且 \(a\) 个子集和 \(=0\)，\(b\) 个 \(=-1\)，将其乘以 \(p\) 后加入答案序列，设原本为 \(0\) 的子集数为 \(x\)，则修改后为 \(ax+b\)

考虑枚举长度 \(\le 10\)，值域为 \(\{-3,-2,-1,1,2,3\}\) 范围内所有无序数列，\((a,b)\) 相同的保留最短的，大约有 \(10^3\) 个，\(dp\) 求出每个 \(k\) 对应长度的最小值及方案

代码

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QOJ #2599. Anti-stress

考虑两条相互垂直的直线（不一定平行于坐标轴），将平面分为四个象限（假定将其绕原点旋转到平行于坐标轴，同步旋转 \(2n\) 个点），若一三、二四象限点数相同且第一象限蓝点数量和第二象限黄点数量相同，则一三象限中点相互匹配，二四象限中点相互匹配，显然为一组合法解

对于一个旋转角度 \(\theta\)，将 \(2n\) 个点同步旋转，两条直线分别取两个方向上的中位数，显然此时一三、二四象限点数相同，令 \(f(\theta)\) 表示第一象限中蓝点数量减去第三象限中黄点数量，显然 \(f(\theta)\) 取值连续（即 \(\theta\) 变化 \(\varepsilon\) 后，\(f(\theta)\) 至多变化 \(1\)）

显然 \(f(0)\) 和 \(f(\pi)\) 符号不同，由此可以二分出一个零点

时间复杂度 \(O(\sum (-\log \varepsilon)n)\)

代码

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