做题记录 26.2.20

\(\textcolor{black}\odot\) P10005 [集训队互测 2023] 基础寄术练习题

令 \([n]=[1,n]\cap \N\)

先考虑 \(t=1\) 的情况

对于 \(a_{1\sim n}\)，考虑以下过程：一共 \(\sum a_{1\sim n}\) 个元素，其中有 \(a_i\) 个属于第 \(i\) 类，将它们重排序，要求第 \(i-1\) 类最后一个元素在第 \(i\) 类之前，求满足要求的概率

显然只有每一类最后一个元素与合法性有关，从前往后依次插入每一类元素，插入第 \(i\) 类时，最后一个元素需要是 \(1\sim i\) 类总计 \(\sum a_{1\sim i}\) 个元素中，第 \(i\) 类的 \(a_i\) 个，显然这些情况概率相同，因此这一步合法的概率为 \(\frac{a_i}{\sum a_{1\sim i}}\)

从而总概率为 \(\prod_{i=1}^n \frac{a_i}{\sum a_{1\sim i}}=\prod_{i=1}^n a_i\cdot \prod_{i=1}^n \frac 1{s_i}\)

即 \(\prod_{i=1}^n a_i\cdot f(a)\) 是重排列合法的概率

对于有序的 \(a_{1\sim n}\)，考虑其 \(n!\) 种排列的 \(f(a)\) 之和

假定按有序的 \(a\) 构造 \(\sum a_{1\sim n}\) 个元素，任意排列，取出每一类的最后一个元素，按顺序重编号，则每一种排列和一种合法方案双射，从而总概率为 \(1\)，即 \(\sum f(a)=\prod_i \frac 1{a_i}\)

从而答案为

\[\sum_{S\subseteq[m],|S|=n} \prod_{i\in S}\frac 1i \]

\(dp\) 可做到 \(O(nm)\)

然后考虑 \(t=2\) 的情况，按 \(t=1\) 的方式构造，每个合法排列权值为 \(a_1\)

枚举 \(a_1=v\)，则 \(a_{2\sim n}\in [m]/\{v\}\)，对于有序的 \(a_{2\sim n}\)，考虑其 \((n-1)!\) 种重排列的贡献之和，设 \(a\) 的集合为 \(S\)，则 \(|S|=n-1\) 且 \(S\subseteq [m]/\{v\}\)

容斥，假定 \(a_{2\sim n}\) 最后一个元素位置有序，但 \(T\subseteq S\) 中的 \(a_i\) 最后一个元素在 \(a_1\) 的最后一个元素之前，容斥系数为 \((-1)^T\)

\(T\) 中方案数为 \(\binom{\sum T}{T_1,T_2,\cdots,T_{|T|}}\)，\(T\) 在 \(a_1\) 之前，将 \(a_1\) 插入 \(T\) 的方案数为 \(\binom{a_1-1+\sum T}{a_1-1}\)，从 \(a_{1\sim n}\) 中选出 \(a_1\) 和 \(T\) 的方案数为 \(\binom{\sum a}{a_1+\sum T}\)

总贡献为

\[\frac{ \binom{\sum T}{T_1,T_2,\cdots,T_{|T|}} \binom{a_1-1+\sum T}{a_1-1} \binom{\sum a}{a_1+\sum T} }{\binom{\sum a}{a_1,T_1,T_2,\cdots,T_{|T|},\sum a-a_1-\sum T}}=\frac{a_1}{a_1+\sum T} \]

由此答案为

\[\sum_{v=1}^m \sum_{S\subseteq [m]/\{v\},|S|=n-1} \sum_{T\subseteq S}(-1)^{|T|}\frac{a_1}{a_1+\sum T} \]

考虑 \(dp\)，令 \(f_{i,j,k,0/1}\) 表示考虑了 \(1\sim i\)，目前 \(|S|=i\)，\(\sum T=j\) 的总贡献

时间复杂度 \(O(nm^3)\)

代码

参考