做题记录 26.2.16

\(\textcolor{purple}\odot\) P11110 [ROI 2023] 陶陶装苹果 (Day 2)

将 \(w\) 从小到大排序，则每个询问使用一个前缀

依次加入，将可达点对标在平面上，点对合法当且仅当其左下方整个区域都可达，考虑其变化

加入一个 \(w\)，相当于将原本的图像向上移动 \(w\) 距离，和向右移动 \(w\) 的距离，将三个图像并起来

取合法的部分，图像按 \(x=y\) 对称，由一个以原点为直角顶点的等腰直角三角形和一系列底在坐标轴上且高度递减的 \(45^\circ\) 平行四边形组成

每加入一个 \(w\)，要么三角形部分边长增加，要么加入一对新的平行四边形

预处理整个变化过程，单次询问可以做到 \(O(\log n)\)

总时间复杂度 \(O(n+q\log n)\)

代码

参考

\(\textcolor{black}\odot\) P10084 [GDKOI2024 提高组] 计算

易得 \(F(m,a,b)=\begin{cases}0 &a=0\lor b=0\\m^{\gcd(a,b)} & \text{otherwise} \end{cases}\)

令 \(n=\frac{R-L}m\)，则转化为求

\[\sum_{k\mid s}[x^s]\prod_{i=0}^{m-1}(1+x^i)^n \]

单位根反演转化为

\[\begin{aligned} &\frac 1m \sum_{j=0}^{m-1} \prod_{i=0}^{m-1} (1+\omega_m^{ij})^n\\ =&\frac 1m \sum_{j=0}^{m-1} \prod_{i=0}^{\frac m{\gcd(j,m)}-1}(1+\omega_{\frac m{\gcd(j,m)}}^{i})^{n\gcd(j,m)}\\ =&\frac 1m \sum_{d\mid m} \varphi\left(\frac md\right) \left(\prod_{i=0}^{\frac md-1}(1+\omega_{\frac md}^{i})\right)^{nd}\\ =&\frac 1m \sum_{d\mid m} \varphi\left(\frac md\right) \left(1-(-1)^{\frac md})\right)^{nd}\\ \end{aligned} \]

容易做到 \(O(\sqrt m+d(m)\log V)\)

总时间复杂度 \(O(m+\sum (\sqrt m+d(m)\log V))\)

代码

参考