做题记录 26.2.15

\(\textcolor{black}\odot\) AT_abc288_h [ABC288Ex] A Nameless Counting Problem

令 \(g_i\) 表示长度为 \(i\)，值域为 \([0,m]\)，异或和为 \(x\) 且数字互不相同的序列数量，则答案为

\[\sum_{i=0}^{\lfloor\frac n2\rfloor}\frac{g_{n-2i}}{(n-2i)!}\binom{m+i}i \]

得到 \(g\) 后容易 \(O(n^2)\) 求出答案，因此考虑如何求出 \(g\)

令 \(f_i\) 表示长度为 \(i\)，值域为 \([0,m]\)，异或和为 \(x\) 的序列数量，容易数位 \(dp\) 做到 \(O(n^3\log V)\)

令 \(od_{i,j},ev_{i,j}\) 表示 \(1\sim i\) 划分为 \(j\) 部分，每部分大小为奇数/偶数的方案数，容易做到 \(O(n^3)\)

则

\[g_l=h_l-\sum_{i=0}^l \sum_{j=0}^{l-1} \sum_{k=0}^l \binom li od_{i,j} g_j ev_{l-i,k}(m+1-j)^{\underline k} \]

容易优化到 \(O(n^3)\)

总时间复杂度 \(O(n^3\log V)\)

代码

参考

\(\textcolor{black}\odot\) AT_arc184_e [ARC184E] Accumulating Many Times

同时令 \(A_i\) 每个位置变为其前缀和，改为同时令 \(A_j\) 中每个位置异或上前一个位置，显然不影响答案

显然操作可逆，且每个状态有且仅有一个后继，对于 \(2^m\) 个状态建图，可以得到若干环

取 \(l=2^{1+\lceil\log_2(m)\rceil}\)，则环长一定 \(\le l\)

考虑每个环求出一个关键点，并对每个 \(A_i\) 求出它到所属环关键点的距离 \(ds\)

令关键点为环中字典序最小的点，因此转化为对每个 \(A_i\) 求出能得到的字典序最小的状态以及到达此状态的步数

对于一个 \(A_i\)，令 \(p\) 为第一个 \(A_{i,p}=1\) 的位置，显然 \(A_{i,1\sim p}\) 经过操作后不变

\(2^l\) 次操作等价于同步令每个 \(A_{i,x}\) 异或上 \(A_{i,x-2^l}\)，对操作二进制拆分可以转化为若干次此操作

从前往后贪心，则依次考虑 \(A_{i,p+2^k}\mid k\ge 0\)（其余位置一旦操作则会影响之前的位置，反而字典序更大），若为 \(1\) 则进行 \(2^k\) 次操作

暴力实现此过程，容易做到 \(O(nm\log m)\)

令每个 \(A_i\) 变为其所在环的关键点，依次考虑每个等价类，容易树状数组优化统计答案的过程，做到 \(O(nm\log n)\)

总时间复杂度 \(O(nm\log nm)\)

代码

参考

\(\textcolor{black}\odot\) CF1770F Koxia and Sequence

若 \(a_{1\sim n}\)，考虑其全排列，\(1\sim n\) 每个位置的贡献都相同，当 \(n\) 为偶数时贡献相互抵消，当 \(n\) 为奇数时只剩下 \(a_1\) 的贡献

因此 \(n\) 为偶数时答案为 \(0\)，否则只需要求所有合法的 \(\{a\}\) 的 \(a_1\) 的异或和即可

答案以异或的方式统计，因此 \(a_1\) 每一位贡献独立，考虑第 \(i\) 位的贡献，转化为求 \(a_1\) 第 \(i\) 位为 \(1\) 的方案数，显然 \(i\in y\)

令 \(f(y)\) 表示 \(\{a\}\) 按位或和为 \(y\) 的子集，\(a_1\) 第 \(i\) 位为 \(1\)，\(a\) 总和为 \(x\) 的方案数，则容斥得 \(2^i\) 计入答案的次数为 \(\sum_{y'\subseteq y} (-1)^{|y|-|y'|}f(y')\equiv\bigoplus_{y'\subseteq y} f(y')\pmod 2\)，即转化为求 \(f(y')\) 的异或和（注意 \(i\in y'\)）

而

\[\begin{aligned} f(y')=&\bigoplus_{\{a\}\mid \sum a_i=x} [i\in a_1]\prod_i [a_i\subseteq y']\\ =&\bigoplus_{\{a\}\mid \sum a_i=x-2^i}[a_1\subseteq y'-2^i] \prod_{i>1} [a_i\subseteq y']\\ =&\bigoplus_{\{a\}\mid \sum a_i=x-2^i}\binom{y'-2^i}{a_1}\prod_{i>1} \binom{y'}{a_i}\\ =&\sum_{\{a\}\mid \sum a_i=x-2^i}\binom{y'-2^i}{a_1}\prod_{i>1} \binom{y'}{a_i}\quad\bmod 2\\ =&\binom{ny'-2^i}{\sum a_i}\\ \end{aligned} \]

可以 \(O(1)\) 计算

总时间复杂度 \(O(y\log y)\)

代码

参考