做题记录 26.2.14

\(\textcolor{black}\odot\) P10104 [GDKOI2023 提高组] 异或图

先考虑 \(m=0\) 的情况

令 \(C(a_{1\sim n})\) 为 \(b_{1\sim n}\mid b_i\le a_i,\bigoplus b_i=0\) 的数量

对于 \(c=0\) 的情况转化为求 \(C(a_{1\sim n})\)，否则转化为求 \(C(a_{1\sim n}:c)-C(a_{1\sim n}:(c-1))\)，其中 \(:\) 表示追加

因此考虑如何计算 \(C\)

令 \(v[x]\) 表示 \(v\) 的第 \(x\) 位

令 \(d_i=a_i-b_i\)，考虑枚举 \(\max d_i\) 的最高位为第 \(x\) 位（\(b=a\) 的情况特判即可）

若 \(a\) 的 \(x\) 位以上部分的异或和不为 \(0\) 则无贡献，跳过

否则设 \(a\) 的 \(x\) 位及以下部分为 \(a'\)，需要选择偶数个 \(a'_i\)（显然不能全选）满足 \(a'_i[x]=1\) 令 \(b'_i[x]=1\)，剩余的 \(b'_i[x]=0\)，从没有被选择的 \(a'_i[x]=1\) 中固定一个，非固定的 \(a'\) \(0\sim x-1\) 位任意填，固定的 \(a'\) 可以将低位的异或和调到 \(0\)

容易 \(dp\) 做到 \(O(n\log V)\)

然后考虑 \(m>0\) 的情况

枚举边子集 \(E'\)，对于 \(E'\) 产生的一个连通块，其中所有点的 \(b\) 相同，求出此时的方案数，容斥系数为 \((-1)^{|E'|}\)

考虑枚举连通块的划分方式，一种划分方式中，大小为偶数的连通块对应方案数为 \(\min a+1\)，大小为奇数的连通块只需要保留 \(\min a\)，对所有保留的 \(\{a\}\) 求出 \(C(a)\) 后乘以偶数连通块的贡献即为总方案数，容斥系数为每个连通块 \(S\subset[1,n]\) 的 \(g_S\) 之积，其中 \(g_S\) 表示点集 \(S\) 的导出子图中选出若干边使 \(S\) 连通的方案数，容易 \(O(3^n)\) 求出 \(g\)

这样可以做到 \(O(B(n)n\log V)\)，其中 \(B(n)\) 表示 \(\text{Bell}\) 数

发现答案形如 \(\sum_{S\subset [1,n]} C(\{a_i\mid i\in S\})\times f_S\)，其中 \(f_S\) 与 \(C\) 无关，考虑如何计算 \(f\)

对于一种划分方案，对应的 \(S\) 为全体大小为奇数的连通块内 \(a\) 最小的点的集合，对 \(f_S\) 的贡献为每个连通块的 \(g\) 之积乘以偶数连通块的 \(\min a+1\) 之积

考虑从小到大加入 \(a\)，\(dp_S\) 中对于已经加入的 \(a_x\)，\([x\in S]\) 表示是否令 \(a_x\) 为一个奇连通块的 \(\min a\)，对于还没有加入的 \(a_x\)，\([x\in S]\) 表示是否已经将 \(a_x\) 加入某一连通块，转移时枚举当前点所在连通块即可

时间复杂度 \(O(n3^n+(m+n\log V)2^n)\)

代码

参考