做题记录 26.2.1

QOJ #7765. Xor Master

令 \(F\) 表示 \(S_0\) 的线性基，令 \(F_{\min}(x)\) 和 \(F_{\max}(x)\) 分别表示 \(x\) 异或 \(F\) 的一个子集所能得到的最小值和最大值

令 \(s\) 为 \(a\) 的前缀异或和，则一次查询要求 \(\sum_{i=l}^r F_{\max}(s_i\oplus s_{l-1})\)

由于 \(F_{\max}(x\oplus y)=F_{\max}(x)\oplus F_{\min}(y)\)，转化为查询 \(\sum_{i=l}^r F_{\max}(s_i)\oplus F_{\min}(s_{l-i})\)

令 \(t_i=F_{\max}(s_i)\)

操作 \(1\) 令 \(s_x\gets s_x\oplus v\)，等价于 \(\forall i\ge x,\;t_i\gets F_{\max}(s_i\oplus v)=F_{\max}(s_i)\oplus F_{\min}(v)=t_i\oplus F_{\min}(v)\)，即对 \(t\) 的后缀异或上一个数

对于操作 \(2\)，若插入 \(x\) 后 \(F\) 不变必然对 \(t\) 无影响，否则假定用高斯消元法插入，实际插入的数值为 \(x'\)，则对 \(t\) 的影响为 \(t_i\gets \max(t_i,t_i\oplus x')\)，显然这一情况只会出现 \(O(\log V)\) 次

转化为维护一个序列，支持区间异或和查询区间和，使用类似 UOJ #671. 【UNR #5】诡异操作 的方法，精细实现可以做到 \(O(n\log V+q\log n\log V)\)

代码

参考