2025.1.28 NOI 模拟赛 题解

比赛

订正

T1 P130362 [省选二十连测第十七套 ] --T1--A

题意

给定一个排列，每次可以交换两个位置，要求逆序对数量减小，求可以得到的排列数量，\(n\le20\)

分析

对于值 \(v\)，令 \(<v\) 的为 \(0\)，\(>v\) 的为 \(1\)，则操作后的序列任意前缀和不大于操作前的序列

定理：一个排列合法当且仅当对于所有 \(v\) 得到的 \(0/1\) 序列都满足矛盾

证明：

• 必要性显然
• 充分性考虑选出最小值，必然需要向前移动，一步步向前交换直到到达期望位置，并删去最小值，显然操作后仍然满足要求，递归即可

因此 \(dp\) 从小到大填数，容易做到 \(O(n^22^n)\)

代码

应该可以做到 \(O(n2^n)\)

T2 P130363 [省选二十连测第十七套 ] --T2--B \(\quad\) QOJ #7087. Counting Polygons

题意

给定 \(n,m\)，求周长为 \(m\) 的凸 \(n\) 边形的数量（两个凸 \(n\) 边形相同当且仅当两者边长的序列循环同构或逆序后循环同构），\(n\le m\le10^7\)，多测 \(T\le10^4\)

分析

令 \(L=\lfloor\frac{m-1}2\rfloor\)，则边权序列合法当且仅当最大值 \(\le L\)，以下称一个正整数序列合法当且仅当最大值 \(\le L\)

令 \(F(l,s)\) 表示长度为 \(l\) 且总和为 \(s\) 的合法序列数量，考虑容斥计算，枚举 \(i\) 个位置 \(>L\)，则 \(F(l,s)=\sum_i (-1)^i \binom li \binom{s-(L+1)i-1}{l-1}\)，显然 \(i\) 为 \(O(1)\) 的，从而可以 \(O(1)\) 计算 \(F\)

考虑 \(\text{Burnside}\) 引理，答案为合法序列在循环和循环逆序下的等价类数量，等于在两类变换下的不动点数量的平均数

对于每个 \(0\le i<n\) 求出 长度为 \(n\)，总和为 \(m\)，循环位移 \(i\) 长度后不变的合法数列数量 和 长度为 \(n\)，总和为 \(m\)，逆序后循环位移 \(i\) 长度后不变的合法序列数量，这 \(2n\) 项之和的 \(\frac1{2n}\) 即为答案

先考虑前者，等价于序列有长度为 \(\gcd(i,n)\) 的循环节，令 \(f_c\) 表示存在长度 \(\frac nc\) 循环节的方案数，则这部分总贡献为 \(\sum_{i=0}^n f_{\frac n{\gcd(i,n)}}=\sum_{c\mid n}\varphi(c) f_c\)，显然 \(f_c=[c\mid m]F(\frac nc,\frac mc)\)，从而总贡献为 \(\sum_{c\mid \gcd(n,m)} F(\frac nc,\frac mc)\)，容易做到 \(O(\sqrt m)\)

然后考虑后者，等价于序列长度为 \(i\) 的后缀和长度为 \(n-i\) 的后缀回文

令 \(P(l,s)\) 表示长度为 \(l\)，总和为 \(s\) 的合法序列中回文的数量，当 \(l\) 为偶数时等于 \([2\mid s]F(\frac l2,\frac s2)\)，当 \(l\) 为奇数时只需要判断中心位置是否 \(\le L\)，令 \(n'=\lfloor\frac{n-1}2\rfloor\)，方案数为 \(\binom{\lfloor\frac{s-1}2\rfloor}{n'}-\binom{\lfloor\frac{s-L-1}2\rfloor}{n'}\)

若 \(n\) 为奇数，前后必有一段长度为奇数，在 \(P(n,m)\) 对应的每种方案基础上，枚举奇数段中心的位置有 \(n\) 种方案，每种方案都对应 \(P(n,m)\) 对应方案的一种重组方式，从而贡献为 \(n\times P(n,m)\)

若 \(n\) 为偶数，若前后两段长度都是偶数，则类似地得到贡献为 \(\frac n2\times P(n,m)\)，若长度都是奇数，枚举前一段中心位置的值 \(1\le l\le L\)，贡献为 \(\frac n2\sum_{l=1}^L P(n-1,m-l)\)，容易转化为二项式上指标求和，可以优化到 \(O(1)\)

总时间复杂度 \(O(n+m+T\sqrt m)\)

MX

QOJ

T3 P130364 [省选二十连测第十七套 ] --T3--C \(\quad\) QOJ #7589. Game Prediction

题意

给定 \(a_{1\sim n}\)，\(q\) 次询问每次给定一个区间，双方轮流操作，每次可以从首尾中选择一个取出，双方都想要最大化与对方取出数字总和的差值，求最终双方取出数字的总和，\(n\le10^5,q\le2\times10^5\)，保证 \(a\) 随机生成

分析

可证若存在连续三个数 \(x,y,z\) 满足 \(x\le y\ge z\) 则将它们替换为 \(x+z-y\) 不改变答案，由此可以将 \([l,r]\) 缩为单谷的，显然此时双方贪心选择首尾较大的即可

随机数据下最终序列期望长度不超过 \(O(\log n)\)，离线后分治容易做到 \(O(n\log^2 n)\)

MX

QOJ

比赛结果

\(20+40+70\)，\(\text{rk}5\)