做题记录 26.1.27

\(\textcolor{black}\odot\) P2305 [NOI2014] 购票

转移方程是显然的，等价于根到当前点的直链的一段后缀上查询一次函数最值

预处理出栈序，则这段后缀等价于出栈序在直链两段的点之间且已经 \(\text{dfs}\) 过的全体点，问题转化为线段树每个结点保存一个一次函数，查询区间内一次函数在一点的最值，线段树套李超树即可

时间复杂度 \(O(n\log n\log V)\)，空间复杂度 \(O(n\log n)\)（注意插入李超树不要递归到叶子）

\(\textcolor{black}\odot\) AT_agc040_e [AGC040E] Prefix Suffix Addition

假定所有操作一之和为 \(b\)，操作二之和为 \(c\)，满足 \(\forall 0\le i\le n,b_i+c_i=a_i\)，则操作次数为 \(\sum_{i=0}^n([b_i>b_{i+1}]+[c_i<c_{i+1}])\)

令 \(dp_{i,j}\) 表示确定了 \(b_{0\sim i}\)，满足 \(b_i=j\) 时的最小总操作次数，则

\[dp_{0,0}=0 \]

\[dp_{i,j}=\sum_{0\le k\le a_{i-1}} (dp_{i-1,k}+[k>j]+[a_{i-1}-k<a_i-j]) \]

令 \(a_{n+1}=0\)，答案为 \(\min dp_{n+1,\ast}\)

显然 \(dp_{i,\ast}\) 单调（假定第二维在 \([0,a_i]\) 中），且极差不超过 \(2\)

因此可以将 \(dp_{i,\ast}\) 划分为三段，容易做到 \(O(n)\)

代码

参考

\(\textcolor{black}\odot\) AT_agc049_e [AGC049E] Increment Decrement

对于固定的 \(a_{1\sim n}\)，考虑如何求出最小操作次数

令 \(dp_{i,j}\) 表示 \(a_{1\sim i}\) 中 \(a_i\) 被 \(j\) 次区间操作覆盖

显然初始 \(dp_{0,i}=c\times i\)，答案为 \(\min_j dp_{n,j}\)，转移为

\[dp_{i,j}=|a_i-j|+\sum_k (dp_{i-1,k}+c\times \max(j-k,0)) \]

显然可以用 \(\text{slope trick}\)，\(dp_{i,\ast}\) 是凸的，斜率在 \([-1,c+1]\) 范围内

初始转折点为 \(c\) 个 \(0\)，对 \(a_i\) 转移时，令斜率为 \(-1\) 的部分斜率变为 \(0\)，斜率 \(c+1\) 的部分斜率变为 \(c\)，然后向转折点集合中加入两个 \(a_i\)，设操作后转折点集合的最小值为 \(p\)（即斜率等于 \(0\) 的段的左端点），则这一次操作对最小值的增量为 \(a_i-p\)（显然 \(p\le a_i\)）

令 \(S\) 为转折点的可重集，初始 \(S\) 为 \(c\) 个 \(0\)，\(i=1\) 时加入 \(2\) 个 \(a_1\) 并令贡献加上 \(a_1-p\)，\(i\ge 2\) 时去掉 \(S\) 最小值最大值后加入两个 \(a_i\) 并令贡献加上 \(a_i-p\)

然后考虑题目的问题

先将 \(k^{n-1}\sum_i \sum_j b_{i,j}\) 计入答案，然后枚举 \(p\in \{b_{i,j}\}\)，考虑统计出 \(p\) 作为 \(\min S\) 的出现次数 \(c\)，然后答案减去 \(c\times p\)

差分为计算 \(\min S<p\) 的次数和 \(\min S<p+1\) 的出现次数，显然形式相同，只考虑前者

令 \(b_{i,j}\) 中 \(<p\) 的为 \(0\)，\(\ge p\) 的为 \(1\)，则任意时刻 \(S\) 的状态可以由 \(1\) 的数量描述，最终 \(\min S<p\) 当且仅当 \(0\in S'\)

令 \(ct_i\) 表示 \(b_{i,\ast}\) 中 \(1\) 的数量，令 \(dp_{i,j}\) 表示第 \(i\) 次操作后 \(S\) 中 \(1\) 的数量为 \(j\) 的方案数

初始 \(dp_{1,0}=k-ct_1,dp_{1,2}=ct_1\)

\(dp_{i,j}\) 向后转移时，令 \(j'=j-[j>0]-[j=c+2]\) 表示去除 \(\min\) 和 \(\max\)，转移为

\[dp_{i+1,j}\gets dp_{i,j}\times(k-ct_{i+1}) \]

\[dp_{i+1,j+2}\gets dp_{i,j}\times ct_{i+1} \]

方案数为 \(\sum_{i=1}^n dp_{i,c+2}\times k^{n-i}\)

容易做到 \(O(n^2k^2)\)

代码

参考

\(\textcolor{blue}\odot\) P3188 [HNOI2007] 梦幻岛宝珠

每组 \((a,b)\) 放到 \(b\) 位置上，令 \(dp_{i,j}\) 表示忽略 \(2^i\) 以下的重量，目前选择了 \(j\times 2^i\) 的最大价值，转移是容易的

时间复杂度 \(O(TV^2\log V)\)

代码

参考

\(\textcolor{black}\odot\) CF1290F Making Shapes

等价于求 \(c_{1\sim n}\) 的数量满足 \(c_i\in \N\)，\(\sum_i c_i x_i=0\)，\(\sum_i c_i y_i=0\)，\(\sum_i[x_i>0]c_ix_i\le m\)，\(\sum_i[y_i>0]c_iy_i\le m\)

令 \(dp_{d,x_1,x_2,y_1,y_2,f_1,f_2}\) 表示确定了 \(\sum_i[x_i>0]c_ix_i\)，\(-\sum_i[x_i<0]c_ix_i\)，\(\sum_i[y_i>0]c_iy_i\)，\(-\sum_i[y_i<0]c_iy_i\) 的低 \(d\) 位，它们 \(d\) 位到 \(d+1\) 位的进位分别为 \(x_1,x_2,y_1,y_2\)，其中前两项低 \(d\) 位相同，\(f_1\) 表示是否超过 \(m\) 的低 \(d\) 位，后两项低 \(d\) 位相同，\(f_2\) 表示是否超过 \(m\) 的低 \(d\) 位