做题记录 26.1.21

\(\textcolor{black}\odot\) P14398 [JOISC 2016] 三明治 / Sandwich

对于两种形式，都令左边的一块编号 \(0\)，右边编号 \(1\)，每一块记为 \((i,j,0/1)\)

对于一个格子 \((i,j)\)，考虑分别求出先取 \((i,j,0)\) 和 \((i,j,1)\) 的答案，两者取较小值即为 \((i,j)\) 的答案

每个 \((i,j,0/1)\) 建立一个点，表示它先于同一格中另一块取出

对于某一块，要先取出它，则需要取出它两条直角边分别对应的块，而要取出它们，需要先取出两者斜边对应的块，因此每个块向其直角边相邻格子中与之不相邻的块连边

每一块的答案即为可达点的两倍，成环则无解

暴力实现时间复杂度为 \(O(n^2m^2)\) 或 \(O(\frac{n^2m^2}\omega)\) 的，无法通过

发现对于每个 \(i\) 必然存在依赖链 \((i,m,0)\to (i,m-1,0)\to(i,m-2,0)\to\cdots\) 和 \((i,1,1)\to (i,2,1)\to(i,3,1)\to\cdots\)，每条链容易 \(O(nm)\)

总时间复杂度 \(O(n^2m)\)，容易做到 \(O(nm\min(n,m))\)

代码

\(\textcolor{black}\odot\) P9385 [THUPC 2023 决赛] 阴阳阵法

令 \(f_{n,m}\) 表示 \((n,m)\) 的答案，则 \(f_{i,0}=(n+m)^i\)，考虑从 \(f_{i,j-1}\) 转移到 \(f_{i,j}\)，然后减去最后一个黑点所在环上黑白点数量都是奇数的方案数

\[f_{i,j}=nf_{i,j-1}-\sum_{y\le i,2\nmid y} \sum_{x\le j,2\nmid x} \binom iy \binom {j-1}{x-1} \binom yx(y-1)!x! f_{i-y,j-x} \]

暴力实现为 \(O(n^4)\)，考虑组合意义优化

后面减去部分本质上是枚举从 \(i\) 个白点中选择奇数个，从 \(j-1\) 个黑点中选择偶数个，组成一条每个黑点前都有白点的链，剩余部分权值为 \(f\)

\(g_{i,j,0/1,0/1,0/1}\) 表示用了 \(i\) 个白点，\(j\) 个黑点，链中白点数量奇偶性，黑点数量奇偶性，最后一个点的颜色，则

\[f_{i,j}=nf_{i,j-1}-g_{i,j-1,1,0,0} \]

\[g_{i+1,j,1,0,0}\gets (i+1)f_{i,j} \]

\[g_{i+1,j,p\oplus 1,q,0}\gets(g_{i,j,p,q,0}+g_{i,j,p,q,1})(i+1) \]

\[g_{i,j+1,p,q\oplus 1,1}\gets (j+1)g_{i,j,p,q,0} \]

时间复杂度 \(O((n+m)^2)\)

代码

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\(\textcolor{black}\odot\) AT_agc025_e [AGC025E] Walking on a Tree

令 \(c_i\) 表示 \((i,fa_i)\) 被路径覆盖的次数，显然答案上界为 \(\sum_i \min(c_i,2)\)，称 \((i,fa_i)\) 的贡献为 \(\min(c_i,2)\)

依次加入路径，若某一时刻存在一条期望贡献为 \(2\) 的边，目前为止其贡献为 \(1\)，且恰好存在一条路径覆盖这条边，则强制定向这条路径，否则任选一条定向

正确性：若不存在合法的路径，对于一种最优解，翻转剩余边也是合法情况，因此无论随机选的边如何定向，必然存在一种最优解包括它

时间复杂度 \(O(m(n+m))\)

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\(\textcolor{black}\odot\) CF325E The Red Button

当 \(n\) 为奇数时，\(0\) 和 \(n-1\) 的非自环入边都来自 \(\frac{n-1}2\)，显然不可能存在曼哈顿回路

当 \(n\) 为偶数时，令 \(m=\frac n2\)，对于任意 \(0\le i<m\)，\(i\) 和 \(i+m\) 都连到 \(2i\) 和 \(2i+1\)，必然为 \(i\to 2i,i+m\to 2i+1\) 或交换之

先按 \(i\to 2i,i+m\to 2i+1\) 连边，显然得到若干环，再枚举一遍，若 \(i\) 和 \(i+m\) 不在同一环内则交换两者出边，从而将两个环合并

时间复杂度 \(O(n\alpha(n))\)

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\(\textcolor{purple}\odot\) P14945 不想玩原神

对行猫树分治，转化为若干次每个位置加入一个数和查询区间内数的出现情况，线段树每个结点保存一个 bitset，区间长度不超过 \(B\) 时暴力修改，超过 \(B\) 时 \(\text{push\_up}\)

时间复杂度 \(O(n\log n(\frac nB\cdot \frac n\omega+n\log B)+q\log n\cdot \frac n\omega)\)，取 \(B=O(\frac{n}{\omega\log n})\) 可以做到 \(O(n^2\log^2 n+\frac{nq\log n}\omega)\)

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P14860 [ICPC 2021 Yokohama R] Cancer DNA

依次加入 \(s_{1\sim m}\)，加入 \(s_i\) 时求出 \(p_i\) 表示一个与 \(s_i\) 匹配的字符串不与 \(s_{1\sim i-1}\) 匹配的概率，则答案为 \(\sum_i p_i \cdot 4^{n-k_i}\)，其中 \(k_i\) 为 \(s_i\) 中 ? 的数量

由于要求答案误差不超过 \(5\%\)，等价于要求每个 \(p_i\) 误差不超过 \(5\%\)

设真实值为 \(p'_i\)，蒙特卡洛式随机得到的值为 \(p_i\)，相对误差不超过 \(\delta=5\%\)，进行 \(x\) 次操作误差在给定范围的概率不小于 \(1-\exp(-\frac{np'_i\delta^2}2)-\exp(-\frac{np'_i\delta^2}{2+p'_i})\)，进行 \(\frac{10^7}{m^2n}\) 次足够

代码

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