2026.1.14 NOI 模拟赛 题解

比赛

订正

T1 P130317 [省选二十连测第十三套 ] --T1--置换

题意

给定 \(n,k\)，求所有长度为 \(n\) 的排列的置换环环长的 \(k\) 次方之和的期望，\(n<\text{MOD}\)，\(k\le 2\times10^7\)

分析

枚举长度为 \(i\) 的置换环的贡献，答案为

\[\sum_{i=1}^n i^k \binom ni (n-i)! (i-1)! \]

化简后为 \(\sum_{i=1}^n i^{k-1}\)，求出 \(n=0\sim k+1\) 的值后拉格朗日插值即可

时间复杂度 \(O(k)\)

代码

T2 P130318 [省选二十连测第十三套 ] --T2--特别的人

题意

排列 \(a_{1\sim n}\)，权值 \(c_{1\sim n}\)，\(q\) 次询问，每次给定一个矩形，按 \(i\) 从小到大取出 \((i,a_i)\) 在矩形内的 \(c_i\) 得到一个序列 \(v_{1\sim l}\)，\(v_i\) 可以和 \(v_{i-1}\) 与 \(v_{i+1}\) 匹配至多 \(v_i\) 次，求序列的最大匹配，\(n,q\le 1.2\times10^5\)

分析

\(v_{1\sim l}\) 的最大匹配等价于连续两个中至少选一个时最少选出的总和，容易用矩阵描述，则转化为 P7721 [Ynoi2007] rvrewsus，离线后分块扫描即可，时间复杂度 \(O((n+q)\sqrt n)\)

代码

T3 P130319 [省选二十连测第十三套 ] --T3--碟中谍

比赛结果

\(100+100+10\)，\(\text{rk}1\)