2025.12.27 NOI 模拟赛 题解

比赛

订正

T1 P130216 [省选二十连测第八套 ] --T1--进 \(\quad\) QOJ #10426. Managing Cluster

题意

给定一棵 \(2n\) 点的树，\(1\sim n\) 每个数作为点权 \(a\) 出现恰好两次，每次操作可以选择两个还没有交换过的点交换，最大化两端点点权相同的边的数量并构造方案，\(n\le10^5\)，多测 \(T\le 3333,\sum n\le2\times10^5\)

分析

显然答案的上限为树的最大匹配，以下构造证明可以达到上界

令 \(v_0/v_1\) 表示点权 \(v\) 第一次、第二次出现的位置

求出任意一组最大匹配 \(M=\{(u,v)\}\)，对于任意 \((u,v)\in M\)，若 \(a_u=a_v\) 则跳过，否则两者之间连边

在 \(v_0\) 和 \(v_1\) 视为同一点的情况下，显然图有若干环和链（忽略孤点）

对于一条链，假定形如 \(a_0,a_1-b_0,b_1-c_0,c_1-\cdots-x_0,x_1-y_0,y_1\)，则可交换 \((a_0,y_0),(a_1,x_1),(b_0,x_0),\cdots\)，显然被交换点不重且每条边两端点权相同

对于一个环，假定形如 \(a_0,a_1-b_0,b_1-c_0,c_1-\cdots-x_0,x_1-y_0,y_1-a_0,a_1\)，则可交换 \((a_0,y_0),(a_1,x_1),(b_0,x_0),\cdots\)，显然被交换点不重且每条边两端点权相同

显然交换后达到最大匹配数

时间复杂度 \(O(\sum n)\)

MX

QOJ

T2 P130217 [省选二十连测第八套 ] --T2--克 \(\quad\) CF1580E Railway Construction

题意

给定一张简单无向图，一次操作可以增加一条长度不为 \(0\) 的有向边，代价为边起点的权值，要求从 \(1\) 到所有点都存在至少两条除起点终点外点边都不交的路径，若干次操作单点增加点权，所有操作前和每次操作后求满足要求的最小代价，\(n\le 2\times10^5,m\le3\times10^5,q\le2\times10^5\)，多测 \(T\le100,\sum n\le3\times10^5,\sum m\le5\times10^5,\sum q\le3\times10^5\)

分析

可证满足题目要求当且仅当在最短路 \(\text{DAG}\) 上去掉非从 \(1\) 出发的所有重边后除 \(1\) 外每个点入度 \(>1\)

因此求出最短路 \(\text{DAG}\)，按 \(\text{dis}(1,x)\) 重排列点后，对于每个入度为 \(1\) 的点 \(u\)，设指向它的点为 \(v\)，若 \(v=1\) 则在 \(\text{dis}\) 小于 \(u\) 的点中选点权最小的，若 \(v\ne 1\) 则选择除了 \(v\) 之外点权最小的

逆序考虑操作，转化为每次单点减小权值

在此过程中用线段树或 \(\text{ODT}\) 维护前缀最小值、次小值，贡献容易统计

总时间复杂度 \(O((n+m)\log m+(n+q)\log n)\)

MX

CF

T3 P130218 [省选二十连测第八套 ] --T3--吃 \(\quad\) AT_wtf22_day2_d Cat Jumps

题意

给定 \(a_{1\sim n}\)，序列 \(b\) 含有 \(a_{1\sim n}\) 和 \(\sum_i a_i\) 个 \(-1\)，对于每个 \(1\le k\le n\)，求 \(b\) 本质不同的排列数满足有 \(k\) 个位置前缀和为 \(0\)，\(n,a_i\le5000\)

分析

假定 \(a\) 有标号，则最终答案需要除以 \(\sum_v (\sum_i [a_i=v])!\)，这是容易处理的

令 \(g_k\) 表示钦定 \(k\) 个前缀和为 \(0\) 的位置的方案数，设原本要求的方案数为 \(f_x\)，则

\[g_x=\sum_{y\ge x} \binom yx f_y \]

二项式反演得

\[f_x=\sum_{y\ge x} (-1)^{y-x}\binom yx g_y \]

转化为求出 \(g_x\)，等价于将 \(a_{1\sim n}\) 划分为非空的 \(x\) 组，对于划分出的一组设数量为 \(c\) 总和为 \(s\) 则贡献系数为 \((s+c)^{\underline{c}}\)

改变组合意义，建立一张完全图，\(u\to v\) 的边权为 \(a_v+[v\le u]\)，则转化为将点集划分为 \(x\) 个非空子集，每个点连向同一子集中一个点，一组划分的贡献为所有边权之积，求所有可能的划分和连边方案的贡献之和

显然最终连出的为若干内向基环树森林，定义递增链为基环树的环上上一条有向链满足点权递增（包含挂在上面树的部分），令 \(dp_{s,i}\) 表示将 \(a_{1\sim s}\) 划分为 \(i\) 条无标号的递增链的总贡献，则

\[dp_{i,j}=(a_i+1)dp_{i-1,j-1}+\left(\sum_{k=1}^n a_k+i-j\right)dp_{i-1,j} \]

其中 \(a_i+1\) 表示新开一条链第一个点连向自己的边权，\(\sum_{k=1}^n a_k+i-j\) 表示接在链尾或接在某一条链的树部分下（可以是还没有加入的点）的系数之和

设 \(g^\ast_x\) 表示恰好形成 \(x\) 棵基环树的贡献，\(h_x\) 表示钦定形成至少 \(x\) 棵基环树的贡献（一种划分出树的方案可能对应多种划分为链的方案），则

\[h_x=\sum_{i=x}^n s(i,x) dp_{n,i} \]

其中 \(s(i,x)\) 为第一类斯特林数表示将 \(i\) 个元素排列为 \(x\) 个互不区分的环的贡献

而

\[h_x = \sum_{i=x}^n \binom ix g^\ast_i \]

二项式反演得

\[g^\ast_x= \sum_{i=x}^n (-1)^{i-x} \binom ix h_i \]

令 \(g_x\) 表示将这些基环树组合为 \(x\) 块，每块有标号的贡献，则

\[g_x=x!\sum_{i=x}^n S(i,x) g^\ast_i \]

其中 \(S(i,x)\) 为第二类斯特林数表示将 \(i\) 个元素划分为 \(x\) 个无标号集合的方案数

总时间复杂度 \(O(n^2)\)

MX

AT

参考

比赛结果

\(29+0+30\)，\(\text{rk}7\)