2025.12.16 NOI 模拟赛 题解

比赛

订正

T1 P130192 [省选二十连测第五套 ] --T1--谎言（uso）

题意

给定 \(x_{1\sim n},y_{1\sim n}\)，求出 \((i,j)\) 数量满足 \(x_i<x_j,y_i<y_j\) 且不存在 \(k\) 使得 \(x_i<x_k<x_j,y_i<y_k<y_j\)，\(n\le 2\times10^5\)

分析

离散化后扫描线，转化为单点修改和查询一个后缀中非严格前缀最大值的数量，容易用单侧递归线段树做到 \(O(n\log^2 n)\)

代码

可以用分治做到相同的复杂度

T2 P130191 [省选二十连测第五套 ] --T2--风（kaze）

题意

给定一个排列，若干次区间 rotate，每次操作后，判断是否存在长度为 \(3\) 的递增子序列，\(n,q\le120000\)

分析

用 \(\text{fhq-treap}\) 维护序列，区间旋转是容易的

每个结点维护：区间内最小最大值 \(mn,mx\)，区间内满足 \(p_i<p_j\) 的位置中 \(p_j\) 的最小值和 \(p_i\) 的最大值

\(\text{push\_up}\) 时，需要在右儿子查询 \(\min(val(u),mn(left))\) 的后继

要在子树 \(u\) 内查询 \(x\) 的后继，若 \(val(u)>x\)，若存在左侧子树内的 \(T\) 使得 \(x<val(T)<val(u)\)，即当前状态存在长度为 \(3\) 的递增子序列，这种情况已经计入答案了，无需再次查找，因此只需要向右子树查询（需要将 \(u\) 计入贡献），若 \(val(u)\ge x\) 则同理只需要向左子树查询

在左儿子中查询同理

时间复杂度 \(O((n+q)\log^2 n)\)

代码

T3 P130193 [省选二十连测第五套 ] --T3--梦（yume）

题意

一个字符串，首/尾/正中间 插入删除字符，或查询给定串在其中的出现次数，操作数 \(n\le2\times10^5\)，查询串总长 \(m\le2\times10^6\)

分析

先考虑只有末尾插入删除的情况

对操作建树，则相当于查询一个字符串在一条到根的链上的出现次数

对查询串建立 \(\text{ACAM}\)，对操作树 \(\text{dfs}\) 的同时在 \(\text{ACAM}\) 上维护每个串的出现次数，等价于 \(\text{fail}\) 树上的链加单点查询，容易用树状数组实现

对于一般情况，前后两半视为 \(\text{deque}\) 用双栈维护，一共拆分为四段，跨段的使用哈希，精细实现可以做到 \(O(m)\)，段内部分只有一端插入删除，可以用前述算法

总时间复杂度 \(O(m|\sum|+(n+m)\log m)\)

代码

比赛结果

\(100+40+40\)，\(\text{rk}5\)