2025.12.13 NOI 模拟赛 题解

比赛

订正

T1 P130187 [省选二十连测第四套 ] --T1--彩翼 (wings)

题意

对于 \(a_{1\sim n}\in \{0,1\}\)，对于 \(1\le i\le n\) 若 \(a_i=0\) 则 \(b_i=0\)，否则 \(b_i=i-\max_{j<i,a_j=1}j\)，给定 \(n\) 和 \(m\) 组要求 \((l,r,s)\) 表示需要满足 \(\sum_{i=l}^r b_i\ge s\)，判断是否存在合法的 \(a\)，\(n\le10^9,k\le2\times10^5\)，多测 \(T\le10,\sum m\le10^6\)

分析

将 \((l,r,s)\) 以 \(r\) 降序为第一关键字，\(l\) 降序为第二关键字排序，依次考虑

初始 \(b_i\gets 1\)，对应 \(a_i=1\)

若此时 \(\sum b_{l\sim r}\ge s\) 则跳过

若此时 \(\sum b_{l\sim r}=0\) 则无解

否者找到 \(p=\max\{u<l\mid \sum b_{u\sim r}\ge s\}\)，若不存在这样的 \(p\) 则无解

清空 \(b_{p\sim l-1}\)，并将它们的值加到 \([l,r]\) 内第一个非 \(0\) 位置上

正确性显然，容易使用动态开点线段树实现

时间复杂度 \(O(\sum m(\log m+\log n)\)

代码

T2 P130188 [省选二十连测第四套 ] --T2--一半一半 (half)

题意

给定 \(n,m\)，初始 \((a,b)=(0,0)\)，\((x,y)=(0,0)\)，进行 \(n+m\) 轮操作，每轮以 \(\frac 12\) 的概率选择 \(a,b\) 之一加一，若 \(a>b\) 则 \(x\) 加一，若 \(a<b\) 则 \(y\) 加一，若相等则比较上一轮的结果，求最终 \((a,b)=(n,m)\) 时 \(x\times y\) 的期望，\(n,m\le10^7\)，多测 \(T\le 5\)

分析

转化为一条 \((0,0)\) 到 \((n,m)\) 的折线，\(x,y\) 分别为 \(x=y\) 上方下方长度为 \(1\) 的线段数量

显然一共有 \(\binom{n+m}n\) 种可能的方案，每种概率相同，因此考虑求出 \(x\times y\) 的总和，最终除以 \(\binom{n+m}n\) 即可

先考虑 \(n=m\) 的情况，此时路径若干次碰到直线 \(x=y\) 可以分为若干段，每段完全在 \(x=y\) 上方或下方

将 \(x\times y\) 转化为选择一条在 \(x=y\) 上方长度为 \(1\) 的线段和一条在 \(x=y\) 下方长度为 \(1\) 的线段

令 \(f_i\) 表示选择的两条线段中，靠后的一条在以 \(i\) 结尾的段中的方案数，枚举最后一段为 \(j\sim i\)，这一段中间不能碰到 \(x=y\) 贡献为 \(2H_{i-j-1}\)（其中 \(2\) 表示可以在上方和下方，\(H\) 为卡特兰数），选择一条线段方案数为 \(2(i-j)\)，前面部分任意填方案数为 \(\binom{2j}j\)，平均有一半的线段可以选，方案数为 \(\frac {2j}2\)，因此

\[\begin{aligned} f_i=&\sum_{j<i} 2H_{i-j-1}2(i-j)\binom{2j}j \frac {2j}2\\ =&\sum_{j<i} 4\binom{2(i-j-1)}{i-j-1}\binom{2j}j j\\ =&\sum_{a+b=i-1} 4a\binom{2a}{a}\binom{2b}b\\ =&\sum_{a+b=i-1} 2a\binom{2a}{a}\binom{2b}b+\sum_{a+b=i-1} 2b\binom{2a}{a}\binom{2b}b\\ =&\sum_{a+b=i-1} (2a+2b)\binom{2a}{a}\binom{2b}b\\ =&2(i-1)\sum_{a+b=i-1} \binom{2a}{a}\binom{2b}b\\ \end{aligned} \]

令 \(G(x)=\sum_{i\ge 0} \binom{2i}i x^i\)，则 \(f_i=2(i-1)\times [x^{i-1}]G^2(x)\)

令 \(H(x)=\sum_{i\ge 0} H_i x^i\)，则

\[\begin{aligned} H(x)=&\sum_{i\ge 0} H_i x^i\\ =&\sum_{i\ge 0} \sum_{j=0}^{i-1} H_j H_{i-j-1} x^i\\ =&1+\sum_{i\ge 1} x\sum_{j=0}^{i-1} H_j x^j H_{i-j-1} x^{i-j-1}\\ =&1+\sum_{i\ge 1} x [x^{i-1}]H^2(x)\\ =&1+xH^2(x)\\ \end{aligned} \]

从而 \(H(x)=\frac{1\pm\sqrt{1-4x}}{2x}\)，由于 \([x^0]H(x)=1\)，因此 \(H(x)=\frac{1-\sqrt{1-4x}}{2x}\)

从而

\[\begin{aligned} G(x)=&\sum_{i\ge 0} \binom{2i}i x^i\\ =&\sum_{i\ge 0} \frac{\binom{2i}i}{i+1} (x^{i+1})'\\ =&(xH(x))'\\ =&\left(\frac{1-\sqrt{1-4x}}{2x}\cdot x\right)'\\ =&-\frac12\left(\sqrt{1-4x}\right)'\\ =&-\frac12\cdot \frac{(1-4x)'}{2\sqrt{1-4x}}\\ =&\frac1{\sqrt{1-4x}}\\ \end{aligned} \]

从而

\[\begin{aligned} f_i=&2(i-1)\times [x^{i-1}]\frac1{1-4x}\\ =&2(i-1)4^{i-1}\\ \end{aligned} \]

考虑如何统计答案

显然 \(n=m\) 时答案为 \(\sum_{i=1}^n f_i \binom{2n-2i}{n-i}\)

当 \(n\ne m\) 时，在 前一式子的基础上 还要考虑最后一个不完整段的贡献，枚举其起点为 \((i,i)\)，走到 \((n,m)\)，中间不能碰到 \(x=y\)，不妨设 \(n<m\) 则反射容斥可得方案数为 \(\binom{n-i+m-i-1}{m-i-1}-\binom{n-i+m-i-1}{m-i}\)，选择的方案数为 \(n-i+m-i\)，前面部分和 \(j\) 一样贡献为 \(\binom{2i}i\cdot \frac{2i}2\)，即这部分贡献为

\[\begin{aligned} &\sum_{j=1}^n \left(\binom{n-i+m-i-1}{m-i-1}-\binom{n-i+m-i-1}{m-i}\right)(n-i+m-i)\binom{2i}i\cdot\frac{2i}2\\ =&\sum_{j=1}^n \left(\binom{x-1}{m-i-1}-\binom{x-1}{m-i}\right)x\binom{2i}i\cdot i\qquad [x=n+m-2i]\\ \end{aligned} \]

容易做到 \(O(\sum (n+m))\)

代码

T3 P130189 [省选二十连测第四套 ] --T3--金色炸弹猪 (aria)

题意

给定 \(n\) 求 \(\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^i \sum_{k=1}^n [\gcd(j,k)\mid i]ijk\)，\(n\le10^7\)，多测 \(T\le 30,n\le 3\times10^7\) 或 \(T\le3,n\le10^9\)

分析

用 \(n_d\) 表示 \(\left\lfloor\frac nd\right\rfloor\)，令 \(C_k(n)=\sum_{i=1}^n i^k\)，则答案为

\[\begin{aligned} F(n)=&\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^i \sum_{k=1}^n [\gcd(j,k)\mid i]ijk\\ =&\sum_{d=1}^n \sum_{d\mid i}\sum_{d\mid j,j\le i}\sum_{d\mid k}[\gcd(j,k)=d]ijk\\ =&\sum_{d=1}^n d^3 \sum_{j=1}^{n_d}\sum_{i=j}^{n_d}\sum_{k=1}^{n_d}[\gcd(j,k)=1]ijk\\ =&\sum_{d=1}^n d^3 \sum_{j=1}^{n_d}\sum_{i=j}^{n_d}\sum_{l\mid j}\sum_{l\mid k,k\le n_d}\mu(l)ijk\\ =&\sum_{d=1}^n d^3 \sum_{j=1}^{n_d}\sum_{i=j}^{n_d}\sum_{l\mid j}\mu(l)ijlC_1(n_{dl})\\ =&\sum_{d=1}^n d^3 \sum_{j=1}^{n_d}\sum_{l\mid j}\mu(l)jlC_1(n_{dl})\sum_{i=j}^{n_d}i\\ =&\sum_{d=1}^n d^3 \sum_{j=1}^{n_d}\sum_{l\mid j}\mu(l)jlC_1(n_{dl})\cdot \frac{(j+n_d)(n_d-j+1)}2\\ =&\frac12\sum_{d=1}^n d^3 \sum_{l=1}^{n_d}\sum_{j=1}^{n_{dl}}\mu(l)jl^2C_1(n_{dl})(jl+n_d)(n_d-jl+1)\\ =&\frac12\sum_{d=1}^n d^3 \sum_{l=1}^{n_d}\sum_{j=1}^{n_{dl}}\mu(l)l^2C_1(n_{dl})((n_d+1)n_dj+j^2l-j^3l^2)\\ =&\frac12\sum_{d=1}^n d^3 \sum_{l=1}^{n_d}\mu(l)l^2C_1(n_{dl})((n_d+1)n_dC_1(n_{dl})+C_2(n_{dl})l-C_3(n_{dl})l^2)\\ =&\frac12\sum_{d=1}^n d^3 \sum_{l=1}^{n_d}(\mu(l)l^2C_1(n_{dl})(n_d+1)n_dC_1(n_{dl})+\mu(l)l^3C_1(n_{dl})C_2(n_{dl})-\mu(l)l^4C_1(n_{dl})C_3(n_{dl}))\\ \end{aligned} \]

令 \(M_k(n)=\sum_{l=1}^n \mu(l)l^k\)，令 \(G(n)=\sum_{l=1}^n(\mu(l)l^2C_1(n_l)(n+1)nC_1(n_l)+\mu(l)l^3C_1(n_l)C_2(n_l)-\mu(l)l^4C_1(n_l)C_3(n_l))\)，则 \(F(n)=\sum_{d=1}^n G(n_d)\)，对 \(d\) 数论分块，对 \(G\) 数论分块可以转化为求 \(M\)，\(M\) 使用杜教筛加速

可证时间复杂度为 \(O(\sum n^{\frac23})\)

代码

比赛结果

\(10+30+40\)，\(\text{rk}9\)