方向导数

偏微分

二元函数 \(f(x,y)\) 在 \(x\) 轴方向上的偏微分记为：

\[\left(\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}\right)_y \]

其中脚标表示不变的量，一般省略

将 \(y\) 视为常量求导数即可，例如：

\[f(x,y)=x^3+\frac xy-y^2 \]

\[\begin{aligned} \frac{\partial f(x,y)}{\partial y}=&\frac{\partial x^3}{\partial y}+\frac{\partial \frac xy}{\partial y}-\frac{\partial y^2}{\partial y}\\ =&0+\left(-\frac{x}{y^2}\right)-2y\\ =&-\frac{x}{y^2}-2y \end{aligned} \]

有

\[\frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial y\partial x} \]

由此可以把 \(\frac{\partial}{\partial x}\) 和 \(\frac{\partial}{\partial y}\) 视为具有交换律的运算符

一般地，对于 \(f:\R^n\mapsto \R\)，定义 \(\frac{\partial}{\partial x_i}:(\R^n\mapsto \R)\mapsto (\R^n\mapsto \R)\) 表示令 \(x_i\) 为变量、其余为常量的微分结果

全微分

\[\mathrm d f(x_1,x_2,\cdots,x_n) = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i} \mathrm dx_i \]

称为 \(f\) 的全微分（\(\mathrm df:(\R^n\mapsto \R)\mapsto (\R^n\mapsto \R^n)\)）

恰当、非恰当微分

对于形如 $ \mathrm df= \frac{\partial f}{\partial x} \mathrm dx + \frac{\partial f}{\partial y} \mathrm dy+\cdots$ 的式子，若存在 \(f\) 则称为 恰当微分，例如 \(\mathrm df=y\mathrm dx+x\mathrm dy\)，对应 \(f=xy+C\)

若不存在对应 \(f\)，则称为 非恰当微分，此时用 \(\delta f\) 代替 \(\partial f\)，例如 \(\delta f=y\mathrm dx-x\mathrm dy\)

判断二元恰当微分

对于

\[ \mathrm df= \frac{\partial f}{\partial x} \mathrm dx + \frac{\partial f}{\partial y} \mathrm dy=A\mathrm dx+B\mathrm dy \]

根据

\[\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x} \]

必须满足

\[\frac{\partial A}{\partial y}=\frac{\partial B}{\partial x} \]

若不满足则必然不存在 \(f(x,y)\)，即为非恰当微分；若为恰当微分则一定满足条件

二元链式法则

\[\frac{\mathrm df}{\mathrm ds}=\frac{\partial f}{\partial x}\cdot \frac{\mathrm d x}{\mathrm ds}+\frac{\partial f}{\partial y}\cdot \frac{\mathrm d y}{\mathrm ds} \]

例如：\((x,y)\to \langle r,\theta\rangle=(\sqrt{x^2+y^2},\arctan \frac yx)\)，\((r,\theta)\to\langle x,y\rangle=(r\cos \theta,r\sin \theta)\)，若存在函数 \(f(x,y)=g(r,\theta)\)，两侧同时分别对 \(r\) 和 \(\theta\) 求导，得

\[\frac{\mathrm df}{\mathrm dr}=\frac{\partial f}{\partial x}\cdot \frac{\mathrm dx}{\mathrm dr}+\frac{\partial f}{\partial y}\cdot \frac{\mathrm dy}{\mathrm dr} \]

\[\frac{\mathrm df}{\mathrm d\theta}=\frac{\partial f}{\partial x}\cdot \frac{\mathrm dx}{\mathrm d\theta}+\frac{\partial f}{\partial y}\cdot \frac{\mathrm dy}{\mathrm d\theta} \]

由于 \(\frac{\mathrm dx}{\mathrm dr}=\frac{\mathrm dr\cos \theta}{\mathrm dr}=\cos\theta\)，\(\frac{\mathrm dy}{\mathrm dr}=\frac{\mathrm dr\sin \theta}{\mathrm dr}=\sin\theta\)，\(\frac{\mathrm dx}{\mathrm d\theta}=\frac{\mathrm dr\cos \theta}{\mathrm d\theta}=-r\sin \theta\)，\(\frac{\mathrm dx}{\mathrm d\theta}=\frac{\mathrm dr\sin \theta}{\mathrm d\theta}=r\cos \theta\)，因此

\[\frac{\partial}{\partial r}=\cos \theta\cdot\frac{\partial}{\partial x} +\sin \theta\cdot\frac{\partial}{\partial y} \]

\[\frac{\partial}{\partial \theta}=-r\sin \theta\cdot\frac{\partial}{\partial x} +r\cos \theta\cdot\frac{\partial}{\partial y} \]

两者都是 \((\R^2\mapsto\R)\mapsto(\R^2\mapsto \R)\) 的变换

同理得

\[\frac{\mathrm dg}{\mathrm dx}=\frac{\partial g}{\partial r}\cdot \frac{\mathrm dr}{\mathrm dx}+\frac{\partial g}{\partial \theta}\cdot \frac{\mathrm d\theta}{\mathrm dx} \]

\[\frac{\mathrm dg}{\mathrm dy}=\frac{\partial g}{\partial r}\cdot \frac{\mathrm dr}{\mathrm dy}+\frac{\partial g}{\partial \theta}\cdot \frac{\mathrm d\theta}{\mathrm dy} \]

及

\[\frac{\partial}{\partial x}=\frac x{\sqrt{x^2+y^2}}\cdot\frac{\partial}{\partial r} +\frac y{\sqrt{x^2+y^2}} \cdot\frac{\partial}{\partial \theta} \]

\[\frac{\partial}{\partial \theta}=-\frac y{x^2+y^2}\cdot\frac{\partial}{\partial \theta} +\frac x{x^2+y^2}\cdot\frac{\partial}{\partial \theta} \]

两者都是 \((\R^2\mapsto\R)\mapsto(\R^2\mapsto \R)\) 的变换

泛化链式法则

\[\frac{\partial}{\partial y_j}=\sum_i \frac{\partial x_i}{\partial y_j}\cdot \frac{\partial}{\partial x_i} \]

此处 \(\{x\}\) 和 \(\{y\}\) 分别表示两个坐标系

注意脚标不相同时 \(\frac{\partial x}{\partial y}=\frac{\partial y}{\partial x}\) 不一定成立

算子

算子可视为 元素为 \((\R^n\mapsto\R)\mapsto(\R^n\mapsto \R)\) 的变换 的向量，即 \(((\R^n\mapsto\R)\mapsto(\R^n\mapsto \R))^n\)

对于 \(T:(\R^n\mapsto\R)\mapsto(\R^n\mapsto \R)\) 和 \(f:\R^n\mapsto\R\) 定义 \(T\cdot f=T(f)\)，则可对算子 \(\bigtriangledown:((\R^n\mapsto\R)\mapsto(\R^n\mapsto \R))^n\) 和标量 \(f:\R^n\mapsto\R\) 或向量 \(\vec F:(\R^n\mapsto\R)^n\) 定义数乘、点积、叉积（\(n=3\) 时）

哈密顿算子

符号为 \(\nabla\) 或 \(\vec \nabla\)，读为 \(\text{Nabla}\)，定义为 \(\nabla_i=\frac{\partial}{\partial x_i}\)

对于 \(f:\R^n\mapsto \R\)，\(\vec F:(\R^n\mapsto \R)^n\)，定义

梯度：

\[\text{grad}(f)=\nabla f=\left(\frac{\partial f}{\partial x_1},\frac{\partial f}{\partial x_2},\cdots,\frac{\partial f}{\partial x_n}\right) \]

散度：

\[\text{div}(\vec F)=\nabla\cdot \vec F=\sum_{i=1}^n \frac{\partial \vec F_i}{\partial x_i} \]

对于 \(\vec F:(\R^3\mapsto \R)^3\) 定义

旋度：

\[\text{rot}(\vec F)=\nabla\cdot \vec F=\det\left(\begin{bmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\ \frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z}\\ \vec F_x&\vec F_y&\vec F_z \end{bmatrix}\right) \]

拉普拉斯算子

符号为 \(\bigtriangleup\)，定义为 \(\bigtriangleup=\nabla\cdot \nabla\)，即 \(\bigtriangleup f=\nabla\cdot \nabla f\) 为 梯度的散度（可视为长度为 \(1\) 的向量 \(\left(\sum_{i=1}^n \frac{\partial^2}{(\partial x_i)^2}\right)\)）

方向导数

本质为二维偏导数的扩展

对于单位向量 \(\vec u=(\cos\alpha,\sin\alpha)\)，定义

\[\begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial \vec u}\bigg|_{(x_0,y_0)} =&\lim_{t\to 0^+} \frac{f(x_0+t\cos \alpha,y_0+t\sin \alpha)-f(x_0,y_0)}t\\ =&\nabla f\cdot \vec u \end{aligned} \]

即沿 \(\vec u\) 方向上的导数

参考

1. 数学-偏微分
2. 哈密顿算子