做题记录 25.10.22

QOJ #10272. Majority Graph

令 \(x(l,r)\) 为区间 \([l,r]\) 的绝对众数，定义存在绝对众数的区间合法

对于合法区间 \([l,r]\)，若 \(a_l\ne x(l,r)\) 且 \(a_r\ne x(l,r)\)，令 \(s,t\) 分别为 \([l,r]\) 中 \(x(l,r)\) 第一次和最后一次出现，则 \([l,t]\)，\([s,r]\)，\([s,t]\) 必然也合法，因此 \(l-t-s-r\) 连通，无需考虑区间 \([l,r]\)

因此只需要考虑 \(a_l=a_r=x(l,r)\)，\(a_l=x(l,r)\ne a_r\)，\(a_l\ne x(l,r)=a_r\) 的情况，显然后两种相同，只考虑前两种

对于第一种情况，枚举 \(x(l,r)=v\)，取出 \(v\) 所有出现位置 \(p_{1\sim k}\)，令 \(c_x\) 为 \(a_{1\sim x}\) 中 \(v\) 出现次数减去其它数字出现次数，需要连接所有满足 \((c_{p_i-1}<c_{p_j})\iff (c_{p_i}\le c_{p_j})\) 的 \(p_i,p_j\)，实际上只需要对于每个 \(c_{p_i}\) 连接下一个 \(c_{p_j}\mid p_j=p_i\lor p_j=p_i+1\) 即可，其它的边都是多余的，容易 \(O(k)\) 完成连边

对于第二种情况，枚举 \(x(l,r)=v\)，枚举 \([l,r)\) 中最后一个 \(x(l,r)\) 位置为 \(p_i\)，显然 \(l\) 取 \(v_{p_j}\) 最小且 \(j<i\) 的 \(p_j\) 最优，此时需要把区间 \([p_i,\min(n,p_i+(v_{p_i}-v_{p_j}))]\) 都并起来，容易做到 \(O(k)\) 次

问题转化为 \(O(\sum k)=O(n)\) 次两点合并与区间合并，后者可以令 \(t_x\) 表示 \(x\) 是否和 \(x+1\) 合并然后维护 \(t\) 的差分做到 \(O(n)\)

总时间复杂度 \(O(\sum n)\)

代码

参考