2025.5.29 图连通性问题选讲

5.29 图连通性问题选讲

[QOJ 10272] Majority Graph

神奇题目

我们肯定不希望连所有的边，而希望通过连 \(O(n)\) 左右的边，完全刻画连通性。

考虑哪些边是毫无必要的。

设当前连的区间 \([l,r]\) 众数为 \(x\)，那么有三种区间：

1. \(a_l=a_r=x\)
2. \(a_l=x,a_r\neq x\) 或 \(a_l\neq x,a_r=x\)
3. \(a_l,a_r\neq x\)

注意到第三种区间是完全没用的，因为若 \([l,r]\) 的众数为 \(x\)，去掉两边不等于 \(x\) 的数众数一定还是 \(x\)，所以 \((l,r)\) 会通过前两种边联通。

---

经典的，令 \(=x\) 的数为 \(+1\)， \(\neq x\) 的为 \(-1\)，求前缀和画折线。

1. \(a_l=a_r=x\)

要求 \(s_{l-1}<s_r\) 也就是 \(s_l\le s_r\)。显然我们只需要连 \(s_l=s_r\) 和 \(s_l+1=s_r\) 就可以，且都只用连极小区间，开桶维护即可。

2. \(a_l=x,a_r\neq x\)

要求 \(s_{l-1}<s_r\)，形如谷底向一段下坡连边。注意到谷底和峰顶一定联通，那么只需要在下坡连形如 \((i,i+1)\) 的边即可，可以差分维护区间连边。
显然只需找下坡左边的 \(\min s_l\)。

\(a_l\neq x,a_r=x\) 同理。

把每种 \(x\) 拎出来单独做就可以做到线性。

---

写了 1h 把自己写晕了，于是找了一份 std 学习/kk
学到了一种简单的计算 \(s\) 的方法 s[j]=(j+1<<1)-pos[j];

[Luogu 12445] 数好图

计数题。

首先考虑 \(k=n\) 即所有点都在 \(1\to n\) 的路径上。注意到只需保证除 \(1\) 之外所有点入度 \(>0\)，除 \(n\) 之外所有点出度 \(>0\) 即可。

两个条件不好，容斥掉一个。\(f1(i,j)\) 表示后 \(i\) 个点，钦定 \(j\) 个点入度为 \(0\) 的方案数，要求 \(j<i\) 即第 \(i\) 个点只能在转移时被钦定是否有入度（其实就是为了让第一个点没有限制）。

容易通过 \(f1\) 容斥得出 \(g(i)\) 表示 \(i\) 个点都在 \(1\to i\) 的路径上的方案数。

接下来考虑插入其他点并保证新的点不在 \(1\to n\) 的路径上。
图中的点可以分为三类：

1. \(1\to i,i\to n\)
2. \(1\to i,i\not\to n\)
3. \(1\not\to i\)

• 1 类点可以和编号比它小的 3 类点连边。
• 2 类点可以和编号比它小的 1 2 3 类点连边，且必须至少和一个 1 或 2 类点连边。
• 3 类点可以和编号比它小的 3 类点连边。

注意到，3 类点可以向任意编号比它大的点连边，贡献可以单独计算。

这样就只剩下形如 \(1\to 2\) 和 \(2\to 2\) 的连边，\(f2(i,j)\) 表示当前有 \(i\) 个 1 类点，\(j\) 个 2 类点的方案数。初始 \(f(1,0)=1\)，转移时每个 2 类点可以和前面的所有点连边。统计答案时要限定最后一个点是 1 类点。

最后把三部分贡献乘起来就好啦。

[CF1062F] Upgrading Cities

先求拓扑序，这样 \(x\) 前面的点不可能被 \(x\) 到达， \(x\) 后面的点不可能到达 \(x\)，这是好的。

考虑 \(x\) 前面的点都能到达 \(x\) 的充要条件，把 \(x\) 之前的拓扑图拿出来，所有点都能到 \(x\) 等价于除 \(x\) 之外所有点出度都 \(>0\)，这样我们总是能从一个点出发，在拓扑序上不断往后走，最终走到 \(x\)。

考虑只有 \(1\) 个点不能到 \(x\)，那么这个点出度 \(=0\)，且它的所有入点出度 \(>1\)（否则删掉这个点后会有新的出度 \(=0\) 的点）。

上面两个条件都是容易在从左往右加边时维护的。

\(x\) 能到达后面的点，在反图上等价于这些点都能到 \(x\)，所以在反图上再做一遍即可。

[Luogu 9829] Traveling Merchant

注意到我们必须走出形如一个 \(6\) 的路径，其中环的两个接口颜色相同。

考虑枚举这条同色边 \((x,y)\)，判断能否走出这条路径。
注意到这等价于判断 \(1\) 能否不经过环上点地走到 \(x,y\) 之一。

找“不经过某些点”的路径想到点双，因为点双内两点至少有 2 条点不相交路径。

若 \(x,y\) 在同一个点双内，\(1\) 先走到割点，割点走到 \(x\to y\) 的某条路径上，沿着这条路径到 \(y\)，再沿着另一条路径到 \(x\) 即可。

建出圆方树，考虑 \(x,y\) 不在同一个点双内的情况。

注意到，如果 \(x,y\) 的 \(lca\) 距离 \(x,y\) 比较远，那么 \(lca\) 必然被经过多次（如果是方点的话，路径上的圆点必然经过多次）。

只有 \(y\) 是 \(x\) 的祖先或者 \(y\) 的父亲方点是 \(x\) 的祖先时，才能走出不重复经过点的路径。

建圆方树判一下子树即可。

[AGC071C] Orientable as Desired

自然的，考虑代入一些 \(x_i\) 的值排除掉一些情况。

代 \(x_i=0\)，非二分图必定无法满足。

接下来只考虑二分图的情况。

最简单的二分图是树，发现树可以满足任意 \(x\)。从上到下钦定边的方向，每个点最多有一条边被钦定过，剩下的边可以任意选，显然能够满足要求。

接下来考虑基环树，显然环必然是偶环，发现只要环上每个点都挂了树，就可以满足要求。只需让环上的相邻边反向即可。

考虑赋值 \(x=(k,0,0,0,\dots)\)，以 \(1\) 为割点分开的每个连通块都是二分图，那么定向方式就只有两种，即可以选择让内部的所有边指向 \(1\) 或相反。

这样的话，假设每个连通块和 \(1\) 的连边分别有 \(a_1,a_2,\dots\) 条，能凑出 \([0,\sum a_i]\) 的充要条件是 \(a_i\le s_{i-1}+1\)，证明平凡。

注意到会和 \(1\) 连边的连通块就是儿子的点双，也可以证明推广到所有点都满足就是原题无解的充要条件。

[CF475E] Strongly Connected City 2

一个边双显然可以定向成强连通图，具体的，找出一棵 dfs 树，树边全部向下，非树边全部向上。

考虑边双缩点后的树，最大化边双间的贡献。

感受上，对于根的若干子树，选接近一半的子树内向，另一半外向，贡献是很大的。

如何证明？本质是 \(x\to y\) 的路径上，最多有两个颜色段。
考虑存在形如 \(x\to a\Leftarrow b \to y\) 的路径，希望证明反向 \(x\to a\) 或 \(b\to y\) 后，答案不降。

记 \(a\) 的内向子树大小为 \(C\)，外向为 \(A\)，\(b\) 的内向子树为 \(B\)，外向为 \(D\)。
反向 \(x\to a\)，答案的变化量为 \(X(C-A+B)\)；反向 \(b\to y\)，答案的变化量为 \(Y(D-B+A)\)。
当 \(A>B\) 时，反转 \(b\to y\)；否则反转 \(x\to a\)，显然答案严格不降。证毕。

枚举每个点是根，背包能凑出的大小，加上子树内的贡献即可做到 \(O(n^2)\)（背包复杂度均摊 \(\sum deg\)）。

还可以证明，我们一定选择带权重心为根，这样可以做到 \(O(n\log n)\) 或者 \(O(\frac{n\sqrt n}{\omega})\)。

[CF1338E] JYPnation

之前做过相同条件的竞赛图的题目，不过两个题需要的性质不完全相同。在这个题中，我们关注整个图的结构，而不太关注导出子图。

注意到有环则必有三元环，于是图的结构形如有向链 \(\to\) 强连通分量。有向链部分的贡献容易计算，可以删去。

（这部分和那道题的“删 0 度点”异曲同工）。

下面只考虑强连通分量的情况。

Lemma 1 ：\(dis(u,v)<4\)。

若 \(dis(u,v)=4\)，则可以画出导出子图：

（Social_Zhao 老师的图太好了）

注意到标黄的 \(4\) 个点就是一个不合法子图。

于是 \(dis(u,v)\le 3\)。

\(dis(u,v)=1\) 的就是边数，只需要在 \(dis(u,v)=2\) 和 \(dis(u,v)=3\) 中选一个算就好了。

显然 \(dis(u,v)=2\) 更简单，要求 \(v\to u\) 且存在 \(u\to a,a\to v\)（这就是个三元环啊qeq）。

Lemma 2：若 \(u\to b,a\to b\)，则必有 \(b\to v\)。

也就是说，我们只需要找 \(u\) 的出边里拓扑序最大的那个，判断它是不是指向 \(v\) 就好了。

找的方法就是 \(u\to v\) 代表 \(rk_v>rk_u\)，扫一遍 \(u\) 的出边就行了。

于是我们就水灵灵的做完了。