2025.7.7 NOI 模拟赛 题解

比赛

T1 UOJ #983. 【UNR #9】星图

T2 UOJ #984. 【UNR #9】欢迎来到最前线

题意

给定 \(a_{1\sim n},b_{1\sim n}\)，对于 \(1\le k\le n\)，求出选出 \(k\) 对 \((a_i,b_j)\)（其中 \(i\) 互不重复，\(j\) 互不重复），\(\sum |a_i-b_j|\) 的最小值，\(n\le5\times10^5\)

分析

显然可以费用流做到 \(O(n^3)\)，说明结果为凸的

将 \(a\) 和 \(b\) 并到一起后排序，显然最优情况下不存在 \(\textcolor{red}aba\textcolor{red}b\)（按值从小到大的顺序，其中同色互相匹配），且 \(\textcolor{red}aa\textcolor{red}bb\) 换为 \(\textcolor{red}aab\textcolor{red}b\) 不劣，且 \(\textcolor{red}ab\textcolor{red}b\) 换为 \(\textcolor{red}a\textcolor{red}bb\) 更优

可知最优情况下：在每对匹配的位置之间连边，则匹配之间要么相离要么相包含，且设 \((a_1,b_1)\supset(a_2,b_2)\supset\cdots\) 依次包含，则有 \([a_1\le b_1]=[a_2\le b_2]=\cdots\) 且 \((a_1,b_1)\) 内的 \(a,b\) 一定都选了

令 \(a\) 为 \(+1\)，\(b\) 为 \(-1\)，按值大小做前缀和，则只有值相同的 \(a,b\) 之间可能匹配

在值相同的 \(a,b\) 之间连边，得到若干链，每条链上都是 \(a,b\) 交错，设有 \(t\) 个点，则相邻位置相减得到 \(t-1\) 个长度，总计 \(n-l\) 个长度（\(l\) 为链数量），从中选择 \(k=1\sim n\) 个，满足同一链中不能选择相邻的

每条链用分治加闵可夫斯基和求出选择 \(0\sim t-1\) 个的答案，然后并起来

容易做到 \(O(n\log n)\)

代码

参考

T3 UOJ #985. 【UNR #9】滑冰

比赛结果

\(30+56+12\)，\(\text{rk}291\)