2025.6.17 NOI 模拟赛

比赛

T1 NFLS #18438. 如何区分猫和猫头鹰

题意

给定一棵树，一个整数 \(k\) 和 \(a_{1\sim m},r_{1\sim m},c_{1\sim m}\)，求出 \(\min_u \sum_{i=1}^m c_i\left\lceil\frac {\max(\text{dis}(u,a_i)-r_i,0)}{k}\right\rceil\)，\(n,m,k\le2\times10^5\)

分析

将 \((a,r,c)\) 挂在点 \(a\) 上，对于点 \(u\) 上的 \((r,c)\) 的集合记为 \(S_u\)

点分治，容易转化为给定树上一个连通块 \(B\)，\(\forall u\in B\)，求出 \(\sum_{v\in B}\sum_{(r,c)\in S_v} c\left\lceil\frac{\max(d_u+d_v-r,0)}k\right\rceil\)，其中 \(d\) 为到分治中心的距离

考虑每个 \((r,c)\) 的贡献，对 \(d\) 相同的 \(u\) 贡献相同，因此开长度为最大 深度的数组记录每个深度的总贡献，则一个 \((r,c)\) 相当于给定 \(p,v\)，令 \([p,p+k)\) 加上 \(v\)，令 \([p+k,p+2k)\) 加上 \(v+1\)，以此类推，容易前缀和实现

总时间复杂度 \(O((n+m)\log n)\)

代码

T2 NFLS #18439. 如何区分洛天依和初音未来

题意

\(n\) 种卡牌，第 \(i\) 种有 \(a_i\) 张，要取出 \(b_i\) 张，每次抽取都会从剩余牌中等概率随机选择一个，若这种已经达到上限则放回，否则保留，求达到目标的期望操作次数，\(n\le50,\sum a_i\le2000\)

分析

转化题意：有 \(C,D\) 两个集合，初始为空，每次从剩余牌中取出一张，若 \(C\) 中这种牌已经达到要求，则放入 \(D\)，否则放入 \(C\)，这样一次操作贡献为 \(\frac{m-|C|}{m-|C|-|D|}\)（操作前的 \(|C|\) 和 \(|D|\)）

转化为对于每个 \((C,D)\) 求出贡献乘概率的总和

令 \(f_{i,j,k}\) 表示前 \(i\) 种牌有 \(j\) 张放入 \(C\)，\(k\) 张放入 \(D\) 的方案数，则答案为

\[\sum_{0\le j,k\le m}\frac{f_{i,j,k}}{\binom m{j+k}} \frac{m-j}{m-j-k} \]

\(f\) 的转移为

\[f_{0,0,0}\gets 1\\ f_{i,j+\min(x,b_i),k+\max(0,x-b_i)}\gets f_{i-1,j,k}\binom{a_i}x \]

时间复杂度 \(O(m^3)\)，经过一定程度的优化可以过

代码

用 \(\text{NTT}\) 优化之可以做到 \(O(m^2\log m)\)

存在 \(O(m\log^2 m)\) 的做法

参考

T3 NFLS #18440. 如何区分台湾和中华民国

比赛结果

\(35+25+21\)，\(\text{rk}43\)