2025.5.13 NOI 模拟赛 题解

比赛

T1 NFLS #P12848. 令人闻风丧胆的英文名称

题意

给定一个长为 \(n\) 的括号序列 \(s\)（不一定匹配），\(q\) 次询问每次给定 \([l,r]\)，求 \(l\le a\le b\le r\) 且 \(s[l,a)\cup s(b,r]\) 为合法括号序列的 \((a,b)\) 数量，\(n\le2500,q\le4\times10^6\)

分析

令 \(dep_i=\sum_{j=1}^i ([s_j=\text{'('}]-[s_j=\text{')'}])\)，令 \(nx_l=\min\{r\mid dep_r-dep_{l-1}<0\}\)，若不存在则为 \(n\)，令 \(pr_r=\max\{l\mid dep_r-dep_{l-1}>0\}\)，若不存在则为 \(1\)，则对于询问 \([l,r]\)，\((a,b)\) 合法当且仅当 \(dep_{a-1}-dep_{l-1}+dep_r-dep_b=0,nx_l\ge a,pr_r\le b\)

第一个条件等价于 \(dep_{a-1}-dep_b=dep_{l-1}-dep_r\)，枚举区间 \([l,r]\)，将 \(dep_{l-1}-dep_r\) 的划分到同一等价类，则第一个条件等价于只统计相同等价类中的区间

后两个条件相当于静态二维数点，容易扫描线维护

时间复杂度 \(O(n^2\log n+q)\)

代码

从另一个角度考虑以上条件，存在 \(O(n^2+q)\) 的 \(dp\) 做法

T2 NFLS #P3313. 路径压缩

题意

给定 \(f_{1\sim n}\)，通过并查集的 \(\text{find}\) 和 \(\text{unite}\) 将其变为 \(g_{1\sim n}\)，求出具体方案或判定无解，\(n\le1000\)，多测 \(T\le10^5,\sum n^2\le5\times10^6\)，保证 \(f\) 合法

分析

若 \(g\) 成环或 \(f\) 中的连通块在 \(g\) 中不连通，显然无解

否则考虑 \(g\) 中一个连通块，它由 \(f\) 中若干连通块组成，设这些连通块的根为 \(r_{1\sim k}\)，则 \(g\) 的根必为其中某一个

若 \(g\) 中 \(r_x\) 为 \(r_y\) 的父亲，则某时刻必然进行了操作 \(\text{unite}(r_y,r_x)\)

\(\text{find}\) 操作只会破坏祖先后代关系，不会新增，因此若 \(g\) 中存在 \(x\) 为 \(y\) 的祖先，则从 \(x\) 和 \(y\) 所属连通块合并到结束，\(x\) 都是 \(y\) 的祖先

若 \(x\) 和 \(y\) 在 \(f\) 中不在同一连通块而 \(g\) 中两者属于同一连通块，且 \(g\) 中 \(x\) 为 \(y\) 的祖先，则 \(x\) 必须为它所在连通块的根，且合并时 \(y\) 的连通块的根接到 \(x\) 下

枚举 \(i\)，若 \(f_i\ne g_i\)，则必须对 \(i\) 进行 \(\text{find}\) 操作，且在所有 \(\text{merge}\) 操作之前进行一定最优

扫描一遍后，若仍然有 \(f_i\ne g_i\)，此时 \(f_i\) 值为 \(i\) 所在连通块的根，则 \(\text{merge}\) 过程中（即两者间的祖先后代关系被破坏前）有 \(g_i\) 为 \(f_i\) 的祖先

将这些关系建出图（\(x\to y\) 表示 \(y\) 为 \(x\) 的祖先），若存在环则必然无解，否则得到拓扑序，按拓扑序枚举 \(p\)，假设以当前的 \(f\) 和 \(g\) 按之前的方式建出图，令 \(q\) 为 \(p\) 连向的点中在拓扑序中最靠前的，若 \(p\) 出度不为 \(0\)，则 \(\text{unite}(p,q)\)，然后枚举 \(i\)，若 \(f_i\ne g_i\) 则 \(\text{find}(i)\)

若操作结束后 \(f\) 和 \(g\) 不同则无解，否则得到一组合法解

时间复杂度 \(O(\sum n^2\alpha(n))\)

代码

T3 NFLS #P2615. 通道建设

比赛结果

\(100+40+3\)，\(\text{rk}32\)