网络流广义切糕模型

问题形式

有 \(n\) 个整数变量 \(x_{1\sim n}\)，满足 \(1\le x_i\le m_i\)，其中 \(x_i\) 取 \(j\) 有 \(w(i,j)\) 的代价，\(q\) 组约束 \((u,v,w)\) 表示 \(x_u\le x_v+w\;(w> 0)\)，最小化总代价

解法

考虑转化为最小割

对于每个 \(i\) 建立 \(m_i\) 个点 \(p_{i,j}\;(1\le j\le m_i)\)，令 \(p_{i,0}=S\)，则 \(p_{i,j-1}\) 向 \(p_{i,j}\) 连容量 \(w(i,j)\) 的边，\(p_{i,m_i}\) 向 \(T\) 连容量 \(\infty\) 的边，若割了 \(p_{i,j-1}\) 到 \(p_{i,j}\) 之间的边则表示 \(x_i=j\)

对于每条限制 \((u,v,w)\)，等价于要求对于任意 \(i\)，\(\forall t>w\)，\((p_{u,i+t-1},p_{u,i+t})\) 和 \((p_{v,i-1},p_{v,i})\) 不能同时被割，等价于 \(S\) 与 \(p_{u,i+t}\) 连通和 \(p_{v,i}\) 与 \(T\) 连通中至少一个成立，令 \(p_{u,i+t}\) 向 \(p_{v,i}\) 连容量 \(\infty\) 的边