做题记录 25.2.7

\(\textcolor{purple}\odot\) [AGC035C] Skolem XOR Tree

令 \(1\) 为根，对于每个偶数 \(x\)（\(1<x< n\)），将 \(x\) 和 \(x+1\) 一起考虑

可构造 \(x-(x+1)-1-(x+n)-(x+n+1)\)，显然 \(x\oplus (x+1)\oplus 1\oplus x=x\)，\((x+1)\oplus 1\oplus x\oplus (x+1)=x+1\)，即 \(x\) 和 \(x+1\) 都满足要求

然后考虑节点 \(1\)，令 \(u\) 为任意一个叶子（取 \([1,n)\) 的偶数即可），则可令 \(n+1\) 接在这个叶子下方，\(1\oplus u\oplus (u+1)\oplus 1=1\)，符合要求

当 \(n\) 为偶数时，上述过程没有加入 \(n\)

令 \(t\) 为 \(n\) 的任意一个二进制位（实现时取 \(\operatorname{lowbit}\) 即可），则可将 \(n\) 和 \(n+n\) 分别接在 \(t+1\) 和 \(n-t+n\) 下，\(n\oplus (t+1)\oplus 1\oplus (n-t)\oplus n=n\)，符合要求

时间复杂度 \(O(n)\)

代码

参考