2024.12.3 CF2042 VP 题解

CF2042A Greedy Monocarp

将 \(a\) 从大到小排序后，显然一定存在一种最优解，是选择 \(a\) 的一个最长前缀，满足其前缀和不超过 \(k\)，增加 \(a_1\) 直到这个前缀和等于 \(k\)，增加次数即为答案

因此直接模拟即可，时间复杂度 \(O(\sum n\log n)\)，瓶颈在于排序

代码

CF2042B Game with Colored Marbles

在两者都执行最优策略的情况下，一定是 \(A\) 先选一个出现 \(1\) 次的，\(B\) 再选一个出现一次的，重复直到出现一次的选完。这部分总分为 \(2\lceil\frac x2\rceil\)，其中 \(x\) 为出现一次的数字数量。对于出现不止一次的，一定是两人分别选至少一次，总贡献为出现不止一次的数字数量

因此直接统计即可，时间复杂度 \(O(\sum n)\)

代码

（不清楚为什么前两题数据范围这么小，一开始 \(B\) 想到正解了，但以为正解为 \(O(\sum n^2)\) 或 \(O(\sum n^2\log n)\) 的，耽误了大约半小时，现在还不知道 \(B\) \(O(\sum n^2)\) 怎么做）

CF2042C Competitive Fishing

若在 \(i\) 和 \(i+1\) 之间新增一个断点，会令 \(B\) 的分数减 \(A\) 的分数的值增加 \(i+1\sim n\) 中 \(1\) 的数量减 \(0\) 的数量

因此将 \(O(n)\) 个按贡献从大到小排序，贪心选择即可

时间复杂度 \(O(\sum n\log n)\)

代码

CF2042D Recommendations

相当于对于每个区间，求出所有能覆盖其的区间的交与原区间的差的长度

显然交为一个线段，因此转化为对于每个区间，求出所有能覆盖其的区间中左端点的最大值和右端点的最小值

可以分别排序后用 set 计算

时间复杂度 \(O(\sum n\log n)\)

代码

CF2042E Vertex Pairs

显然树的重心中一定有至少一个在被选出集合内

令重心为树的根（若有两个则新建一个根，令两重心为其儿子，并去掉两重心之间的边）

考虑先将所有节点插入，再编号从大到小尝试删除

若 \(x\) 和 \(y\) 的值相同，则 \(lca(x,y)\) 到根的链上所有点都不能删（因为根一定选，因此不能断开）

从大到小考虑所有能删的点，若删除它，则其所在子树内所有点都标记为已删除

若删除了一个点，要标记其对应点（值相同的另一个点）到根的链上所有点为不可删除

可以证明这一算法的正确性

在标记点不可删时，若遇到一个已经删除的点，则说明剩余部分已经标记，直接跳出即可，这样可以保证复杂度

总时间复杂度 \(O(n\log n)\)

代码 参考了 Kitty-Milk

CF2042F Two Subarrays

显然可以用 \(DDP\)

若向量从上到下依次为 \(0\)，第一个没选完，第一个选完，第二个没选完，第二个选完，则注意到只有左下角的半个矩形有用，其余全为 \(-\infty\)。因此矩乘时忽略剩余部分，常数可以减少为原来的 \(\frac16\)

代码