[大战div2D]Codeforces Round #791 (Div. 2) D. Toss a Coin to Your Graph...口胡（二分答案+拓扑排序+dp）

碎碎念

明天要网络赛了，该菜还是菜，哈哈

题意

给定一个\(n\)个点\(m\)条边的有向图，每个点都有一个非负点权\(a[i]\)。初始可以将一枚硬币放在任意一点上，然后沿着可以经过的有向边走\(k-1\)次（即需经过\(k\)个点），求硬币最终经过的所有点的最大点权的最小值。若无论如何走都不可能经过\(k\)个点，输出\(-1\)。

分析

“路径上经过的所有点的最大点权的最小值”具有单调性，显然可以二分答案\(mid\)，表示走过路径上的点的最大点权。

因为要使\(mid\)为最大点权，所以在\(check\)函数中，若存在有向边\((u,v),a[u]<=mid,a[v]<=mid\)，则\((u,v)\)被视作可走边，反之则不可走。这样我们就得到了一个新图，使得我们在这个新图上无论如何走，走过的点权都\(<=mid\)。

在这个新图上如何确定是否能走过\(k\)个点呢？

显然，当得到的新图存在环，则所有的路径长度都可被取到，经过\(k\)个点的要求一定满足，而判环可以用拓扑排序。

如果得到的新图不存在环，则要找到图中的最长链，判断最长链的点的个数是否\(>=k\)。而找最长链，可以从每个入度为\(0\)的点开始进行\(dp\)（保证一定从某条最长有向链的起始端开始\(dp\)），转移方程为，若存在有向边\((u,v),dp[v]=max(dp[v],dp[u]+1)\)。

“从入度为\(0\)的点开始找”恰好暗合了拓扑排序的思想，因此可以在拓扑排序的过程中顺便完成这个\(dp\)。