竞赛图和哈密顿回路

竞赛图和哈密顿回路

结论

对于一个竞赛图，一定有哈密顿通路

对于一个强连通竞赛图,一定有哈密顿回路

竞赛图缩点后肯定是一条链

哈密顿通路证明

给出伪代码

void work() {
    int l = r = 1;
    for (int i = 2;i <= n; i++) {
        if (ed[i][l]) nxt[i] = l, l = i;
        else if (ed[r][i]) nxt[r] = i, r = i;
        else for (int j = l; ; j = nxt[j]) 
                if (a[i][nxt[j]]) { nxt[i] = nxt[j], nxt[j] = i; break; }
    }
}

我们维护 1 ~ i-1 的哈密顿路径，考虑插入 i，如果可以接到头尾直接加入即可。否则满足有路径 \(l \to i \to r\)，考虑从中间找到满足 \(t \to i \to nxt[t]\) 的位置然后把 i 插入即可，容易发现一定存在这样一个位置。如果目前只有两个点，显然成立。如果不是，那么从 l 开始，满足 \(l \to i\)，如果有 \(i \to nxt[l]\) 直接满足，否则满足 \(nxt[l] \to i\) 这样还是原来的问题，这样就可以用数学归纳法证了。

哈密顿回路证明

    //这个部分最好画图理解,图是一个环长一条尾巴的样子。
    r=0;//这里是紧接着上面找完通路。先把r置为0表示还没有找到初始的环。
    for(int i=l;i;i=nxt[i])//r是环上最靠近链的点,r->l是环上的边,r->nxt[r]是链上的边。
        if(r){//尝试在环中插入点i
            for(int j=l,k=r;;k=j,j=nxt[j]){
                if(a[i][j]){//在环上找到一个可以作为nxt[i]的点。
                    nxt[k]=nxt[r];//j作为了i的后继,那么本来j的前驱k就要另找一个后继了。（这里注意nxt[r]不一定是i，因为可能前面的一些点没有插入成功）
                    if(k!=r)nxt[r]=l;//本来没有连上的环上的边要连上(k=r的话r的后继在上一句话已经改了,不是l了)
                    l=j,r=i;break;//根据l和r的定义修改l和r
                }
                if(j==r)break;//确实有可能当前无法插入，但是后面的点一定会有插入成功的，那时这个点也就会进入环内。
            }
        }
    else if(a[i][l])r=i;//这里找到了初始的环
    nxt[r]=l;//这里把最后一条边连上。

这个是学长的代码，简要说明一下

强连通的限制保证了不会有一个点向其他点都是正向边或反向边。

先找到一条哈密顿通路，容易发现 $2 \to n $ 中至少有一个点有连向 1 的边，否则不会强连通，设它为 x，现在我们就有了一个 \(1 \to x \to 1\) 的哈密顿回路。现在考虑一个一个加入下一个点，考虑 \(x+1\) 的若干中情况。

• 有边 \(x + 1 \to 1\)，让 \(x\) 连 \(x+1\)，\(x+1\) 连 1 即可
• \(x+1\) 对所有的 \(1\to x\) 都有边，将 \(x+1\) 和 \(x+2\) 这个线段看作整体，继续考量 \(x+2\)，这时候只要 \(x+2\) 对 \(1 \to x\) 有反向边就可以直接插入。由于强连通，所以不可能剩下的点都没有反向边。
• 否则一定存在 \(t \to x \to nxt[t]\)，可以画图理解一下，和上面证哈密顿通路的过程是一样的。

竞赛图缩点证明

假设缩点完毕，容易发现一个联通分量到另一个连通分量肯定有限制关系，所以可以变成一条链。