三角函数（Trigonometric Functions）

定义

如图，\(\angle C=90^\circ\)，记 \(A,B,C\) 的对边为 \(a,b,c\)，那么我们有一种表示三边比的函数：

\[\begin{aligned} \sin \alpha = \frac {a}{c}\\ \ \\ \cos \alpha = \frac {b}{c}\\ \ \\ \tan \alpha = \frac {a}{b} \end{aligned} \]

即为三角函数

弧度制

在三角函数这个章节中，我们通常使用弧度制而非角度制。

如图，我们用 \(\pi\) 表示半圆，即 \(180^\circ\)，如\(\frac{3}{5} \pi = 108^\circ\)。

表示方法

我们在原点处朝 \(x\) 轴正方向引出一条射线 \(OP\)，再逆时针旋转 \(\alpha\)，交单位圆于点 \(P\)，可以发现 \(P\) 的坐标为 \((\cos \alpha ,\sin \alpha)\)，这样我们就有在图上表示三角函数的方法了。

正负性

不难发现，当 \(P\) 在第一象限时，即 \(0<\alpha < \frac{\pi}{2}\) 时，\(\sin \alpha >0,\cos \alpha >0\)；当 \(P\) 在第二象限时，即 \(\frac{\pi}{2} <\alpha < \pi\) 时，\(\sin \alpha >0,\cos \alpha <0\)；当 \(P\) 在第三象限时，即$ \pi <\alpha < \frac{2\pi}{3}$ 时，\(\sin \alpha <0,\cos \alpha <0\)；当 \(P\) 在第四象限时，即 \(\frac{2\pi}{3}<\alpha < 2\pi\) 时，\(\sin \alpha <0,\cos \alpha >0\)。

简单来说，就是下面这张图，其中 \(\tan \alpha\) 为前两项相除得来。

诱导公式

A组

\[\begin{aligned} &\sin (-\alpha)=-\sin \alpha\\ &\cos (-\alpha)=\cos \alpha\\ &\tan (-\alpha)=-\tan \alpha \end{aligned} \]

如图，\(-\alpha\)可理解为顺时针旋转，关注新产生的点 \(P'\)，可以发现如上公式。

B组

\[\begin{aligned} &\sin (\pi - \alpha)=\sin \alpha\\ &\cos (\pi - \alpha)=-\cos \alpha\\ &\tan (\pi - \alpha)=-\tan \alpha \end{aligned} \]

如图，\(\pi-\alpha\)可理解为在x负半轴的图像，关注新产生的点 \(P'\)，可以发现如上公式。

C组

\[\begin{aligned} &\sin (\frac{\pi}{2}-\alpha)=\cos\alpha\\ \ \\ &\cos (\frac{\pi}{2}-\alpha)=\sin\alpha\\ \ \\ &\tan (\frac{\pi}{2}-\alpha)=\frac{1}{\tan \alpha} \end{aligned} \]

如图，可以作关于 \(y=x\) 的对称，关注新产生的点 \(P'\)，将 \(P'\) 放入旋转后的直角三角形中，可以发现如上公式。

基础恒等式

有趣的是：

\[\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha =1 \]

注：\(\sin^2 \alpha\) 与 \((\sin \alpha)^2\) 没有任何区别。

证明

\[\begin{aligned} \because & \angle C=90^\circ\\ \therefore & a^2+b^2=c^2\\ \because &\sin \alpha=\frac{a}{c},\cos \alpha=\frac{b}{c}\\ \therefore &a=c\cdot\sin\alpha,b=c\cdot\cos\alpha\\ \therefore &c^2 \cdot \sin^2 \alpha+c^2 \cdot \cos^2 \alpha=c^2\\ \therefore &\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha =1 \end{aligned} \]

得证！

另一种思路，在单位圆上，其坐标即为 \((\cos \alpha,\sin \alpha)\)，也可以看作是三边为 \(1,|\cos \alpha|,|\sin \alpha|\) 的直角三角形，同样可证。