[学习笔记] 树上启发式合并

知识讲解

1.定义：

英文名\(\text{dsu on tree}\)，是用来处理一类离线的树上询问问题的方法。一般时间复杂度\(O(n \log n)\)。

2.操作步骤：

	1.先遍历其非重儿子，获取它的ans，但不保留遍历后它的信息
	2.遍历它的重儿子，保留它的信息
	3.再次遍历其非重儿子及其父亲，用重儿子的信息对遍历到的节点进行计算，获取整棵子树的ans

3.代码

//重链剖分
inline void dfs (int u, int fa) {
	size[u] = 1;
	for (int i = head[u]; i; i = edge[i].next) {
		int v = edge[i].to;
		if (v == fa) continue;
		dfs (v, u);
		size[u] += size[v];
		if (size[v] > size[son[u]]) son[u] = v;
	}
}

inline void add (int u, int fa, int val) {
	// 将轻儿子暴力合并到点上
	for (int i = head[u]; i; i = edge[i].next) {
		int v = edge[i].to;
		if (v == fa || v == Son) continue;
		add (v, u, val);
	}
}

inline void dfs (int u, int fa, bool keep) {
	for (int i = head[u]; i; i = edge[i].next) {
		int v = edge[i].to;
		if (v == fa || v == son[u]) continue;
		dfs (v, u, 0);//遍历轻儿子 不保存轻儿子信息
	}
	if (son[u]) dfs (son[u], u, 1);//走重儿子 保存重儿子信息
	Son = son[u];
	add (u, fa, 1);//再次遍历轻儿子 暴力合并
	Son = 0;
	ans[u] = sum;
	if (!keep) {
		add (u, fa, -1);//清空不需要保存的情况
		sum = 0;
	}
}

4.时间复杂度证明

首先我们知道一个点到根节点上有\(\log n\)条重链和\(\log n\)条轻边。

注意到每条轻边会导致下面的子树被多遍历一次，因此每个点最多被遍历\(\log n\)次。

因此总时间复杂度为\(O(n \log n)\)。

例题

U41492 树上数颜色

题面描述

给定一棵树，每次询问子树颜色种类数。

题解

先考虑暴力\(O(n^2)\)算法

inline void dfs (int u, int fa) {
	for (int i = head[u]; i; i = edge[i].next) {
		int v = edge[i].to;
		if (v == fa) continue;
		dfs (v, u);
		for (int j = 0; j <= 10000; j ++ ) mp[u][j] += mp[v][j];
	}
	int cnt = 0;
	for (int i = 0; i <= 10000; i ++ ) if (mp[u][i]) cnt ++ ;
	ans[u] = cnt;
}

然后考虑如何优化 因为没有修改操作，而且是子树查询，所以用\(\text{dsu on tree}\)
我们可以先遍历轻儿子，然后遍历重儿子保存重儿子的信息，然后再加上轻儿子的信息就行，只要实现一下\(\text{add}\)操作即可

inline void add (int u, int fa, int opt) {
	if (opt > 0 && !cnt[col[u]]) sum ++ ;
	cnt[col[u]] += opt;
	if (opt < 0 && !cnt[col[u]) sum -- ;
	for (int i = head[u]; i; i = edge[i].next) {
		int v = edge[i].to;
		if (v == fa || v == Son) continue;
		add (v, u, opt);
	}
}

CF600E

题面

一棵树有\(n\)个结点，每个结点都是一种颜色，每个颜色有一个编号，求树中每个子树的最多的颜色编号的和。

题解

与上题类似，同样是先一下\(\text{add}\)函数即可

inline void add (int u, int fa, int val) {
	cnt[col[u]] += val;
	if (cnt[col[u]] > mx) {
		mx = cnt[col[u]];
		sum = col[u];
	} else if (cnt[col[u]] == mx) 
		sum += col[u];
	for (int i = head[u]; i; i = edge[i].next) {
		int v = edge[i].to;
		if (v == fa || v == Son) continue;
		add (v, u, val);
	}
}

其他例题

CF570D Tree Requests

CF741D Arpa’s letter-marked tree and Mehrdad’s Dokhtar-kosh paths