[BZOJ4013][HNOI2015]实验比较(树形DP)

4013: [HNOI2015]实验比较

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Description

小D 被邀请到实验室，做一个跟图片质量评价相关的主观实验。实验用到的图片集一共有 N 张图片，编号为 1 到 N。实验分若干轮进行，在每轮实验中，小 D会被要求观看某两张随机选取的图片， 然后小D 需要根据他自己主观上的判断确定这两张图片谁好谁坏，或者这两张图片质量差不多。 用符号“<”、“>”和“=”表示图片 x和y（x、y为图片编号）之间的比较：如果上下文中 x 和 y 是图片编号，则 x<y 表示图片 x“质量优于”y，x>y 表示图片 x“质量差于”y，x=y表示图片 x和 y“质量相同”；也就是说，这种上下文中，“<”、“>”、“=”分别是质量优于、质量差于、质量相同的意思；在其他上下文中，这三个符号分别是小于、大于、等于的含义。图片质量比较的推理规则（在 x和y是图片编号的上下文中）：（1）x < y等价于 y > x。（2）若 x < y 且y = z，则x < z。（3）若x < y且 x = z，则 z < y。（4）x=y等价于 y=x。（5）若x=y且 y=z，则x=z。 实验中，小 D 需要对一些图片对(x, y)，给出 x < y 或 x = y 或 x > y 的主观判断。小D 在做完实验后， 忽然对这个基于局部比较的实验的一些全局性质产生了兴趣。在主观实验数据给定的情形下，定义这 N 张图片的一个合法质量序列为形如“x1 R1 x2 R2 x3 R3 …xN-1 RN-1 xN”的串，也可看作是集合{ xi Ri xi+1|1<=i<=N-1}，其中 xi为图片编号，x1,x2,…,xN两两互不相同（即不存在重复编号），Ri为<或=，“合法”是指这个图片质量序列与任何一对主观实验给出的判断不冲突。 例如： 质量序列3 < 1 = 2 与主观判断“3 > 1，3 = 2”冲突（因为质量序列中 3<1 且1=2，从而3<2，这与主观判断中的 3=2 冲突；同时质量序列中的 3<1 与主观判断中的 3>1 冲突） ，但与主观判断“2 = 1，3 < 2”  不冲突；因此给定主观判断“3>1，3=2”时，1<3=2 和1<2=3 都是合法的质量序列，3<1=2 和1<2<3都是非法的质量序列。由于实验已经做完一段时间了，小D 已经忘了一部分主观实验的数据。对每张图片 i，小 D 都最多只记住了某一张质量不比 i 差的另一张图片 Ki。这些小 D 仍然记得的质量判断一共有 M 条（0 <= M <= N），其中第i 条涉及的图片对为(KXi, Xi)，判断要么是KXi   < Xi  ，要么是KXi = Xi，而且所有的Xi互不相同。小D 打算就以这M 条自己还记得的质量判断作为他的所有主观数据。现在，基于这些主观数据，我们希望你帮小 D 求出这 N 张图片一共有多少个不同的合法质量序列。我们规定：如果质量序列中出现“x = y”，那么序列中交换 x和y的位置后仍是同一个序列。因此： 1<2=3=4<5 和1<4=2=3<5 是同一个序列， 1 < 2 = 3 和 1 < 3 = 2 是同一个序列，而1 < 2 < 3 与1 < 2 = 3是不同的序列，1<2<3和2<1<3 是不同的序列。由于合法的图片质量序列可能很多， 所以你需要输出答案对10^9 + 7 取模的结果

Input

第一行两个正整数N,M，分别代表图片总数和小D仍然记得的判断的条数；

接下来M行，每行一条判断，每条判断形如”x < y”或者”x = y”。 

Output

 输出仅一行，包含一个正整数，表示合法质量序列的数目对 10^9+7取模的结果。

Sample Input

5 4
1 < 2
1 < 3
2 < 4
1 = 5

Sample Output

5

HINT

 不同的合法序列共5个，如下所示： 

1 = 5 < 2 < 3 < 4 

1 = 5 < 2 < 4 < 3 

1 = 5 < 2 < 3 = 4 

1 = 5 < 3 < 2 < 4 

1 = 5 < 2 = 3 < 4 

100%的数据满足N<=100。  

Source

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首先把相等的点缩起来，然后每个小的往大的连边，如果形成环则无解。

这样由于每个点只有一个前趋，最后形成了一个森林，添加一个虚拟根就可以树形DP了。

f[i][j]表示以i为根的子树分成j段（也就是有j-1个小于号）的方案数。

考虑合并两个子树x,y，设合并之后共有k段，则合并的方案数为f[x][i]*f[y][j]*C(k,i)*C(i,j-(k-i))。

直接转移即可，细节比较多。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define rep(i,l,r) for (int i=l; i<=r; i++)
using namespace std;

const int N=210,mod=1000000007;
char c;
int n,m,ans,tot,cnt,x,y,vis[N],a[N],b[N],d[N],C[N][N],sz[N],f[N][N],fa[N],g[N],h[N],to[N],nxt[N];
void add(int u,int v){ to[++cnt]=v; nxt[cnt]=h[u]; h[u]=cnt; }

bool dfs(int x,int fa){
    vis[x]=1; bool s=1;
    for (int i=h[x],k; i; i=nxt[i])
        if ((k=to[i])!=fa){
            if (vis[k]) return 0;
            if (!dfs(k,x)) return 0;
            if (!s){
                memset(g,0,sizeof(g));
                rep(i,1,sz[x]) if (f[x][i]) rep(j,1,sz[k]) if (f[k][j])
                    rep(l,max(i,j),i+j) g[l]=(g[l]+1ll*f[x][i]*f[k][j]%mod*C[l][i]%mod*C[i][j-(l-i)]%mod)%mod;
                sz[x]+=sz[k];
                rep(i,1,sz[x]) f[x][i]=g[i];
            }else{
                s=0; sz[x]=sz[k];
                rep(i,1,sz[k]) f[x][i]=f[k][i];
            }
        }
    if (x){
        sz[x]++;
        if (s) f[x][1]=1; else for (int i=sz[x]; i; i--) f[x][i]=f[x][i-1];
    }
    return 1;
}            

int get(int x){ return (fa[x]==x)?x:fa[x]=get(fa[x]); }

int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    rep(i,1,n) fa[i]=i;
    rep(i,0,n) C[i][0]=1;
    rep(i,1,n) rep(j,1,i) C[i][j]=(C[i-1][j-1]+C[i-1][j])%mod;
    rep(i,1,m){
        scanf("%d %c%d",&x,&c,&y);
        if (c=='=') { fa[get(x)]=get(y); continue; }
        if (c=='>') swap(x,y);
        a[++tot]=x; b[tot]=y;
    }
    rep(i,1,tot){
        int x=get(a[i]),y=get(b[i]);
        if (x==y) { puts("0"); return 0; }
        add(x,y); d[y]++;
    }
    rep(i,1,n) if (!d[get(i)]) add(0,get(i)),d[get(i)]++;
    if (!dfs(0,-1)) { puts("0"); return 0; }
    rep(i,1,sz[0]) ans=(ans+f[0][i])%mod;
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}