一些小技巧/小trick

一些小技巧/小trick

待补

莫队值域分块

Binary gcd（Stein算法）

正常的欧几里得算法求gcd，时间复杂度由于取模、操作浪费等常数原因，往往较慢

而Binary gcd则以二进制为基础降低了常数

原理

若 \(a,b\) 均为偶数，则 \(\gcd(a,b)=2\gcd(\frac{a}{2},\frac{b}{2})\)

若 \(a,b\) 中有一个偶数（假设为 \(a\)），则 \(\gcd(a,b)=\gcd(\frac{a}{2},b)\)

若 \(a,b\) 均为奇数，则直接通过更相减损术得到 \(\gcd(a,b)=\gcd(\frac{a-b}{2},b)\)

再通过二进制位运算优化，可使复杂度变为常数较小的 \(O(\log n)\)

实现

直接模拟可得：

ll gcd(ll a, ll b) {
	if(a == 0 || b == 0) return a+b;
	if(a == b) return a;
	if((a&1) == 0) {
		if(b&1) return gcd(a>>1, b); // 一个偶数
		else return gcd(a>>1, b>>1)<<1; // 两个偶数
	}
	if((b&1) == 0) return gcd(a, b>>1);
	if(a > b) return gcd((a-b)>>1, b);
	else return gcd((b-a)>>1, a);
}

循环形式的效率会更高

ll gcd(ll a, ll b) {
	if(a == 0 || b == 0) return a+b;
	if(a == b) return a;
	ll i, j;
	for(i = 0; (a&1) == 0; i++) a >>= 1;
	for(j = 0; (b&1) == 0; j++) b >>= 1;
	i = min(i, j);
	while(1) {
		if(a < b) swap(a, b);
		a -= b;
		if(a == 0) return b<<i;
		while((a&1) == 0) a >>= 1;
	}
	return a;
}

而在 Luogu P5435 这道题中，我们这么写仍旧会T

这里引用一个函数 __builtin_ctz( ) ，它可以返回一个数二进制下末尾0的个数。优化后的代码：

int gcd(int a, int b) {
	int i = __builtin_ctz(a), j = __builtin_ctz(b), t = min(i, j), d;
	b >>= j;
	while(a) {
		a >>= i;
		d = b-a;
		i = __builtin_ctz(d);
		if(a < b) b = a; // gcd(a-b, a) or gcd(b-a, b)
		if(d < 0) a = -d; // 实测：abs较慢
		else a = d;
	}
	return b<<t;
}

阈值分治/根号分治

调和级数

结论：\(\large{\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}=\sum_{i=1}^n\frac{1}{i}=O(\log n)}\)

可用于计算复杂度等，如：

for(int i = 1; i <= n; i++) {
	for(int j = i; j <= n; j += i) {
		...
	}
}

该段代码的复杂度即为 \(O(n\log n)\)