树链剖分

树链剖分

基本架构

原理：将树以一种划分方式分成若干条链，转换为区间，再用数据结构维护
一般形式：两遍dfs初始化+数据结构（线段树/树状数组）
解决的问题：各种树上区间操作（维护的东西越多，解决问题的范围就越大）

两遍dfs维护的：
$fa$[ ]（父节点）
$son$[ ]（重儿子）
$dep$[ ]（深度）
$siz$[ ]（子树大小）
$seg$[ ]（树中点在数据结构（如线段树）中编号）
$rev$[ ]（数据结构中点在树中编号）
$top$[ ]（重链头）

轻重边的一些性质：
1.如果(u, v)为轻边，则size[v] <= size[u] / 2。
2.从根到某一点v的路径上，轻边个数不多于O(logn)。
3.称某条路径为重路径（重链），当且仅当它全部由重边组成，一个点也算一条重路径。那么对于每个点到根的路径上都有不超过O(logn)条轻边和O(logn)条重路径。
4.每个点都在且仅在一条重路径上，每条路径一定是一条从根结点方向向叶结点延申的深度递增的路径。

维护完后即可使用线段树等进行区间维护，单次区间修改或查询复杂度为\(O(\log^2n)\)

边权化点权

简单画几个图，模一模可发现若将边权化至深度大（靠下）的点，即可保证一条边对应一个点，可进行边权化点权。修改或查询时，减去\(lca(x, y)\)处即可。