方阵A+B的逆
分析
如果A+B可逆，那么设它的逆为C矩阵,E为单位矩阵，求解：
\[(A+B)C=E \\
C(A+B)=E
\]
即可
\[ (A+B)B^{-1}(A^{-1}+B^{-1})^{-1}A^{-1} \\
= (AB^{-1}+I)\{A(A^{-1}+B^{-1})\}^{-1} \\
= (I+AB^{-1})(I+AB^{-1})^{-1} = I \\ and \\
B^{-1}(A^{-1}B^{-1})^{-1}A^{-1}(A+B) \\
=\{(A^{-1}+B^{-1})B\}^{-1}(I+A^{-1}B) \\
=(A^{-1}B+I)^{-1}(A^{-1}B+I)
=I
\]
所以\((A+B)^{-1}=C=B^{-1}(A^{-1}+B^{-1})^{-1}A^{-1}\)
