ADV-1117 超级快速幂（数论）

问题描述

　　给出a,b,c。令p=1000000007, z=b^c, y=a^z, x=y mod p。请求出x。

输入格式

　　三个整数分别是a,b,c

输出格式

　　请输出x

数据规模和约定

　　abc都不超过10^9

思路

不能使用a^(b^c%mod)%mod
考虑费马小定理
当a和p互质时， a ^ (p - 1) % p = 1
最后的结论是a^(b^c) % mod = a^(b^c%(mod - 1)) % mod
先是一个结论：a = b * (a / b) + a % b
div = (b ^ c) / (mod - 1) rem = (b ^ c) % (mod - 1)
则a^(b^c) % mod = a ^ ((mod - 1) * div + rem) % mod
由于a小于1e9，mod=1e9+7， mod是质数，a和mod互质，满足费马小定理
所以，a^(b^c) % mod = a ^ rem % mod

#include <iostream>

using namespace std;

const int p = 1000000007;
typedef long long LL;

int qmi(int a, int k, int mod)
{
    int res = 1;
    while(k)
    {
        if(k & 1)
        {
            res = (LL)res * a % mod;
        }
        a = (LL)a * a % mod;
        k >>= 1;
    }
    return res;
}

int main()
{
    int a, b, c;
    cin >> a >> b >> c;
    int z = qmi(b, c, p - 1);
    int y = qmi(a, z, p);
    cout << y;
    return 0;
}