概率论(复旦大学出版社)定理4.3.1 Chebyshev不等式
定理 设$\xi$为非负随机变量, $\alpha>0,$ 则对于任意正数$m>0$有\begin{align*}
\mathbb{E}(\xi^{\alpha})\geq m^{\alpha}\mathbb{P}(\{\xi\geq m\}).
\end{align*}
其中$\mathbb{E}(\eta)$表示随机变量$\eta$的期望, $\mathbb{P}(A)$表示随机事件$A$发生的概率, $\{\xi\geq m\}=\{x|\xi(x)\geq m\}.$
证明 用$1_A$表示在事件集$A$中取$1,$ 补集中取$0$的随机变量. (自然会有$\mathbb{E}(1_A)=\mathbb{P}(A).$) 则 \begin{align*} \mathbb{E}(\xi^{\alpha})\geq\mathbb{E}(\xi^{\alpha}\cdot 1_{\{\xi\geq m\}})\geq \mathbb{E}(m^{\alpha}\cdot 1_{\{\xi\geq m\}}) = m^{\alpha}\mathbb{P}(\{\xi\geq m\}). \end{align*}
证明 用$1_A$表示在事件集$A$中取$1,$ 补集中取$0$的随机变量. (自然会有$\mathbb{E}(1_A)=\mathbb{P}(A).$) 则 \begin{align*} \mathbb{E}(\xi^{\alpha})\geq\mathbb{E}(\xi^{\alpha}\cdot 1_{\{\xi\geq m\}})\geq \mathbb{E}(m^{\alpha}\cdot 1_{\{\xi\geq m\}}) = m^{\alpha}\mathbb{P}(\{\xi\geq m\}). \end{align*}
