34. 在序列中查找最大值（递归手法）

一. 问题

给定一组序列，找出其中的最大元素。

二. 实例分析

1.循环手法

（1）思路

给定一组序列， data = (1, 3, 4, 9, 12, 3)。我们一眼看出，最大值是 12 ，但是计算机并不能一眼看出。我们用一个变量来保存最大值，并将序列中的每个元素与之比较，如果大于这个最大值，就将它赋值给最大值，否则不用理会，继续处理下一个。

（2）代码实现

int find_max(const vector<int>& data) {
    const int MIN = numeric_limits<int>::min();
    int max = MIN;

    for (auto& x : data) {
        if (x > max) {
            max = x;
        }
    }

    return max;
}

不难看出，算法的时间复杂度为O(n)。只需要查看一遍序列，就能够找到最大值（要找最小值也是同理）。但是如果需要多次查找，这样就不划算了，每次都要查看所有的元素，显然做了很多的无用功。在这种情况下，我们应该先将序列排序，然后就能直接找到对应元素。排序的时间复杂度是O(nlogn)，因为我们用的是快速排序。

（3）算法正确性证明

最开始，令 max 是小于元素中所有序列的值，那么第一次循环， max 的值必将是序列首元素的值。在前 n 次迭代中，max 的值也是这 n 个元素中的最大值，那么到序列末尾，结束循环以后，max 的值必将保存的是整个序列的最大值。（此处证明用的是数学归纳法）

 

2. 递归手法

（1）思路

当序列只有一个元素时，最大值就是这个元素，这就是基准情况。如果序列有多个元素，我们需要逐步削减，直到元素个数为 1（不是真的削减，只是将参数减少 1 而已），这是层层深入。等到序列只有 1 个元素时，我们就可以将该元素返回，然后与上一个元素作比较，找到一个最大的，这是层层返回。

（2）代码实现

int find_max_recursive(const vector<int>& data, int n) {
    if (n == 1) {
        return data[n];
    }

    return max(find_max_recursive(data, n- 1), data[n - 1]);
}

（3）算法正确性证明

现在我们分析一下这段代码。不难看出，第 2-4 行就是基准情况，只有一个元素时直接返回结果。第 6 行就是返回并进行比较，选出一个最大的元素。先把最后一个元素留下，因此是 data[ n - 1 ]，再进行层层深入，传入的还是那个序列，只不过大小少了一个（将最后一个元素排除在外）。这样返回的时候，是第一个元素和第二个元素比较，选出一个大的，然后依次向后推。最后一次是第 n - 1 个元素和第 n 个元素比较，留下一个大的，那么算法结束以后，得到的结果必将是整个序列当中的最大值。