洛谷题解P3197 [HNOI2008]越狱

思路

这道题可以从反面去考虑，即：先计算出不可能发生越狱的状态总数，并用它减去总状态数即为这道题要求的答案。

首先，在不失一般性的情况下，不妨设第一个房间里的犯人的宗教信仰为\(p\)，则第二个房间里的烦人的宗教信仰不能为\(p\)，因此第二个房间里的犯人的宗教信仰共有\((m - 1)\)种可能性。同理，第三个房间里的犯人的宗教信仰也共有\((m - 1)\)种可能性……故第二个到第\(n\)个房间里的烦人的宗教信仰共有\((n - 1)^{(m - 1)}\)种可能性。而第一个房间里的犯人的信仰有\(n\)种可能，故不可能发生越狱的状态总数为

\[n×(n - 1)^{(m - 1)} \]

那么，总状态数是多少呢？容易求的总状态数为\(n^m\)，所以题目所求为

\[n^m-n×(n - 1)^{(m - 1)} \]

这道题还有一个要注意的地方：\(m\)最大为\(10^8\)，因此要用快速幂来计算

AC代码：

#include<iostream>
using namespace std;

const long long MOD = 100003;

long long power(long long b, long long p) {
    if(p == 0) {
        return 1;
    }
    long long ans = power(b, p / 2);
    ans = ans * ans % MOD;
    if(p % 2 == 1) {
        ans = ans * b % MOD;
    }
    return ans;
}

int main() {
    long long m, n;

    cin >> m >> n;
    long long ans = ((power(m, n) - m * power(m - 1, n - 1)) % MOD + MOD) % MOD;
    cout << ans << endl;

    return 0;
}