BZOJ#4407. 于神之怒加强版


4407: 于神之怒加强版

Time Limit: 80 Sec  Memory Limit: 512 MB
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Description

给下N,M,K.求

Input

输入有多组数据,输入数据的第一行两个正整数T,K,代表有T组数据,K的意义如上所示,下面第二行到第T+1行,每行为两个正整数N,M,其意义如上式所示。

Output

如题

Sample Input

1 2
3 3

Sample Output

20

HINT

1<=N,M,K<=5000000,1<=T<=2000

 


problem:
求:

solution:
预处理出h数组,实现的复杂度
 
推导:

                       

枚举gcd:

             

套路化解:

             

根据公式二:

             

套路枚举dx:

              

考虑预处理出:          

                

 
化解一下:         
              
 
 
因为积性函数的约束和也是积性函数,所以h是积性函数:

               

线性筛时预处理出h数组:
注意:
如果i%prime[j]==0:则μ(i*prime[j])及以后都为0,不再为h做出贡献,只有D为变。

                     

                    

我们只需要合并时把h乘上一个即可
否则,根据积性函数性质:h(i*prime[j])=h(i)*h(prime[j]),更新即可。
void getmu()
{
    h[1]=1;
    for(int i=2;i<=N;i++)
    {
        if(!vis[i])
        {
            prime[++cnt]=i;
            g[i]=qpow(k,i);
            h[i]=(g[i]-1+mod)%mod;
        }
        for(int j=1;j<=cnt;j++)
        {
            if(i*prime[j]>N) break;
            vis[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0) {h[i*prime[j]]=(h[i]*g[prime[j]])%mod;break;}
            h[i*prime[j]]=(h[i]*h[prime[j]])%mod;
        }
    }
    for(int i=1;i<=N;i++) h[i]=(h[i]+h[i-1])%mod;
}

 附上代码:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=5e6+12;
const int mod=1e9+7;
int prime[N],cnt,vis[N];
long long h[N],g[N];//注意long long 
long long k;
int n,m;
int qpow(int a,long long b)
{
    long long ans=1;
    while(a)
    {
        if(a&1) ans=ans*b%mod;
        b=b*b%mod;
        a>>=1;
    }
    ans%=mod;
    return ans;
}

void getmu()
{
    h[1]=1;
    for(int i=2;i<=N;i++) 
    {
        if(!vis[i]) 
        {
            prime[++cnt]=i;
            g[i]=qpow(k,i);
            h[i]=(g[i]-1+mod)%mod;
        }
        for(int j=1;j<=cnt;j++) 
        {
            if(i*prime[j]>N) break;
            vis[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0) {h[i*prime[j]]=(h[i]*g[prime[j]])%mod;break;}
            h[i*prime[j]]=(h[i]*h[prime[j]])%mod;
        }
    }
    for(int i=1;i<=N;i++) h[i]=(h[i]+h[i-1])%mod;
}
int main()
{
    freopen("a.in","r",stdin);
    int T;scanf("%d%d",&T,&k);
    getmu();
    while(T--) 
    {
        scanf("%d%d",&n,&m);
        if(n>m) swap(n,m);
        int pos;
        long long ans=0;
        for(int i=1;i<=n;i=pos+1) 
        {
            pos=min(n/(n/i),m/(m/i));
            long long t=(long long)(n/i)*(m/i)%mod;
            ans=(ans+(long long)t*(h[pos]-h[i-1]+mod)%mod)%mod;
        }
        ans=(ans%mod+mod)%mod;
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}

 


 

posted @ 2018-05-27 20:50  Heey  阅读(126)  评论(0编辑  收藏  举报