CF1292B(思维)

Aroma's Search

题目描述

这个空间可以看作是一个二维平面，在其内部有着无限多的数据点，从 \(0\) 开始标号，它们的坐标定义如下：

• 第 \(0\) 个点的坐标为 \((x_0, y_0)\)。
• 对于 \(i > 0\)，第 \(i\) 个点的坐标为 \((x_i, y_i) = (a_x \cdot x_{i-1} + b_x, a_y \cdot y_{i-1} + b_y)\)。

初始时 Aroma 的位置为 \((x_s, y_s)\)。她只能留在 OS 空间中最多 \(t\) 秒，她不需要返回初始位置 \((x_s, y_s)\) 也能传送回家。

在 OS 空间中，Aroma 可以做如下操作：

• 在点 \((x, y)\) 上时，Aroma 可以移动到这四个点之一：\((x-1, y), (x+1, y), (x, y-1), (x, y+1)\)。这个操作需要耗费 \(1\) 秒。
• 如果 Aroma 当前的位置上有数据点，她可以收集它。我们可以假定这个操作耗费 \(0\) 秒。当然，每个数据点只能被收集一次。

计算在 \(t\) 秒内最多能收集的数据点的个数吗？

思路:

  对于点集 \(\{(x_i, y_j) \mathrel{|} x_i = x_{i - 1}×a_x + b_x, y_i = y_{i - 1}×a_y + b_y\}\)我们可以写出这些点\(x, y\)坐标的通项公式: \(x_n = x_0 × a_x ^ n + b_x × \left(a_x ^ {n - 1} + a_x ^ {n - 2} + \dots + a_x ^ 2 + a_x ^ 1 + a_x ^ 0\right)\), 可以发现\(b_x\)乘的那一部分是一个等比数列,那么最终的通项公式就是\(x_n = x ^ 0×a_x ^ n + \frac{a_x ^ n - 1}{a_x - 1}\). 因为\(a_x ^ n\)是一个指数函数,当\(n\)增大的时候,点在二维平面上就会越来越稀疏,所以想要尽可能的收集多的数据点,就应该先向\(P_0\)方向收集再向\(p_0 \rightarrow P_n\)方向收集, 但是起始点应该先向哪个点移动并不知道,所以需要枚举第一个走向的点,然后按照\(P_i \rightarrow P_0 \rightarrow P_n\)这个原则走。

    int n = 0;
    i64 a, b, c, d, sx, sy, t;
    std::cin >> x[0] >> y[0] >> a >> c >> b >> d >> sx >> sy >> t;

    auto dis = [&](i64 x1, i64 y1, i64 x2, i64 y2) -> i64 {
        return std::llabs(x1 - x2) + std::llabs(y1 - y2);
    };

    while(++n) {
        x[n] = x[n - 1] * a + b;
        y[n] = y[n - 1] * c + d;
        if (x[n] > sx && y[n] > sy && dis(sx, sy, x[n], y[n]) > t) break;
    }

    int ans = 0;
    for (int i = 0; i <= n; i++) {
        int res = 0;
        i64 now = t;
        if (now >= dis(x[i], y[i], sx, sy)) res++, now -= dis(x[i], y[i], sx, sy);
        else continue;

        for (int j = i - 1; j >= 0; j--) {
            if (now >= dis(x[j], y[j], x[j + 1], y[j + 1])) res++, now -= dis(x[j], y[j], x[j + 1], y[j + 1]);
            else { 
                ans = std::max(ans, res); 
                pos = i;
                break; 
            }
        }

        for (int j = 1; j <= n; j++) {
            if (now >= dis(x[j], y[j], x[j - 1], y[j - 1])) res += j > i, now -= dis(x[j], y[j], x[j - 1], y[j - 1]);
            else {ans = std::max(ans, res); break;}
        }
    }

    std::cout << ans << "\n";