机器人走路问题

就是一个坐标轴，从1开始到N，机器人处于其中某个位置cur，问它走到另一个位置aim有几种走法？限定机器人必须走k步。且在1或N位置的时候，只能返回2或N-1，其余位置两个方向都能走。

 

首先理解一下递归。

机器人从cur位置开始走，假如这个cur在1这个位置，那么它只能去2；假如cur在N这个位置，它只能去N-1;假如cur在中间，那么cur可以去cur-1或者cur+1的位置。

此时机器人只走了1步，剩下k-1步。

那么下一步机器人处在一个新位置，这个位置我们从上一步结果可以知道，因此递归。

递归出口就是k=0,表示机器人走完。走完就代表一个机器人的一个走法。

判断这个走法是不是我们要的结果，就是判断cur和aim有没有重合？重合代表走对了，返回1，否则，这个走法不是我们要的，返回0；

int way1(int cur, int aim, int k, int N)
{
    if (k == 0) return cur == aim ? 1 : 0;

    if (cur == 1) return way1(2, aim, k - 1, N);
    if (cur == N) return way1(N - 1, aim, k - 1, N);


    return way1(cur - 1, aim, k - 1, N) + way1(cur + 1, aim, k - 1, N);
}

接下来我们要优化这个递归过程。为什么？因为递归的过程有大量的重复计算。

比方说机器人已经开始走了，它走到了5这个位置，那么5可以从4过来，也可以从6过来。

想一下，假设我们规定机器人从1开始走100步，坐标轴长度N=10。

机器人出现在5和6这个位置很多次，其中一定有存在，机器人走了同样的步数，走到了5或者6。

这在我们的递归里，就是重复计算的过程。

所以加上一个缓存表，存的是，机器人在当前位置和剩余步数的情况下，递归是否计算过这个数据。

假如计算过，直接返回计算的值；没计算过，更新缓存表。

//二维缓存表cs，维度<N+1,k+1>，初始化-1，表示没计算过。

int way2(int cur, int aim, int k, int N,vector<vector<int>>& cs)
{
    if (cs[cur][k] != -1) return cs[cur][k];
    int ans = 0;
    if (k == 0) ans = (cur == aim ? 1 : 0);
    else if (cur == 1) ans = way2(2, aim, k - 1, N, cs);
    else if (cur == N) ans = way2(N - 1, aim, k - 1, N, cs);
    else ans = way2(cur - 1, aim, k - 1, N, cs) + way2(cur + 1, aim, k - 1, N, cs);
    cs[cur][k] = ans;

    return ans;
}

继续优化就有点蒙了，是根据表找依赖关系，直接得到答案。

（这也是动态规划难的地方，就像数学公式，不给你推导，只告诉你结论，谁知道怎么来的？

所以最后还是从浅入深才能领悟精髓啊。）

完全理解之后再补充。