0/1 背包

有 N 件物品和一个容量是 V 的背包。每件物品只能使用一次。

第 i 件物品的体积是 \(v_i\)，价值是 \(w_i\)。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。

接下来有 N 行，每行两个整数 \(v_i\), \(w_i\)，用空格隔开，分别表示第 i 件物品的体积和价值。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

$ 0 \lt N, V \le 1000 $
\(0\lt v_i, w_i \le 1000\)

输入样例

4 5
1 2
2 4
3 4
4 5

输出样例：

8

裸代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 1e3+ 10;
int f[N][N],v[N],w[N];
int n,m;

int main()
{
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1 ; i <= n ; i++)
    {
        cin >> v[i] >> w[i] ;
    }

    memset(f,0xcf, sizeof f);
    f[0][0] = 0;
    // for(int j = 0 ; j <= m ; j++)
    //     f[0][j] = 0;   
    for(int i = 1 ; i <= n ; i++)
    {
        for(int j = 0 ; j <= m ; j++)
            f[i][j] = f[i-1][j];//,cout << f[i][j] << ' ' ; cout << endl; 
        for(int j = v[i] ; j <= m ; j ++)
            f[i][j] = max(f[i][j] , f[i-1][j - v[i]] + w[i]);
    }
    int ans = -1;
    for(int i = 1 ; i <= m ; i++)
        ans = max(ans,f[n][i]);//,cout << f[n][i] << ' ' ; cout << endl;
    cout << ans;
    return 0;
}

滚动背包

    for(int i = 1 ; i <= n ; i++)
    {
        for(int j = 0 ; j <= m ; j++)
            f[i & 1][j] = f[(i-1) & 1][j];
        for(int j = v[i] ; j <= m ; j ++)
            f[i & 1][j] = max(f[i & 1][j] , f[(i-1) & 1][j - v[i]] + w[i]);
    }
    int ans = -1;
    for(int i = 1 ; i <= m ; i++)
        ans = max(ans,f[n & 1][i]);
    cout << ans;
}

倒序

    memset(f,0xcf, sizeof f);
    f[0] = 0;
    
    for(int i = 1 ; i <= n ; i++)
    {
        for(int j = m ; j >= v[i] ; j --)
            f[j] = max(f[j] , f[j - v[i]] + w[i]);
    }
    int ans = -1;
    for(int i = 0 ; i <= m ; i++)
        ans = max(ans,f[i]);
}

外层循环i : 表示循环到第i个物品时
F[j] 表示背包中放入总体积为j的物品的最大价值和

0/1背包与完全背包的不同