CF1474F

感谢 _lgswdn 大佬的耐心讲解，让我学了这题 \(O(n^3)\) 的高妙做法（数据范围可以加个零）

此题解主要为 _lgswdn 题解的具体阐释以及帮作者理清思路开始写题。

首先把原图压缩一下，如何相邻两端都是上升/下降，就将它们合并，这样可以把原图变成一上一下的特殊形状方便分析。

将原图分层后大概是：

要求的是 LIS，我们按值域从小到大考虑。

首先有个细节就是如何分层，一种高妙的做法是用左闭右开表示 \([l,r+1)\) ，这样做的好处是方便找到相邻两层的差值。

设 \(f_{i,j}\) 表示当前考虑到值域上第 \(i\) 层，下标分析到第 \(j\) 段，保证 LIS 最大的情况下的方案数，显然要 LIS 最大，\(fi,j\) 只能从上一层转移而来。

假设从 \(f_{i-1,k}(k \le j)\) 转移而来，它的贡献系数是什么。

中间的东西没有画，显然最后一段 \(j%\) 的最后一个点肯定是一定要选的，设中间会有 \(x\) 个向下的段，\(x+1\) 个向上的段（最后一段若是向下的同理）。

那么现在相当于 \(x+x+1\) 个盘子，\(len\) 个苹果，有 \(x\) 个盘子至多放一个苹果，\(x+1\) 个盘子随便放苹果，盘子本质不同，苹果本质相同，求方案数。

根据插板法，那么 \(ans(x,len)=\displaystyle\sum_{i=0}^{x}\binom{x}{i}\binom{len-i+x}{x}\) ，到新的一层的时候预处理所有 \(ans\) 即可。

那么有 \(f_{i,j}=\displaystyle\sum_{k=1}^{j}Ans(x,len)\)

直接做即可，就是细节有点多。