线段树二分学习笔记

线段树二分学习笔记

只学了一点皮毛，暂且学到什么总结什么。
并不是说用线段树+二分的算法，而是说在线段树的二分分治结构下进行操作。

应用1

权值线段树上二分，找区间第 \(k\) 大/小，这是很经典的应用，和ST表二分/树状数组二分最为接近，不多总结。

全局查询

inline int query(int x,int l,int r,int k)
{
    if(l==r)return l;
    int mid=l+r>>1;
    if(val[x<<1]>=k)return query(x<<1,l,mid,k);
    else return query(x<<1|1,mid+1,r,k-val[x<<1]);
}

区间查询

如果是区间查询的话，要比全局查询复杂一些，因为分割出来的区间并不是那么优美。

考虑这样一个问题，记 \(S\) 为前缀的和，在 \([L,R]\) 中找到第一个使得 \(S>v\) ( \(v\) 给定)的位置。
我们不妨记询问的区间为 \([L,R]\)，一共在线段树上被分为了 \(m\) 个这样的整区间 \([l_i,r_i]\)，显然 \(m\le \log n\)。
从左到右考虑这 \(m\) 个区间，不断将其值累加到 \(S\) 中，直到遇到第一个使得 \(S>v\) 的区间，这样就化归到了“待查区间完全包含线段树区间”的情况，那么就可以直接在这个区间内用类似“全局查询”的方法来做就好。

inline int query(int x,int l,int r,int ql,int qr,int &s,int v)
{
    if(ql<=l&&r<=qr)
    {
        if(val[x]+s<=v)return s+=val[x],-1;//说明当前区间太靠左了，不满足使得S>v的条件
        if(l==r)return l;//这时候已经收敛到了答案所在位置，否则进入下面的代码继续查询
    }
    push_down(x);
    int mid=l+r>>1;
    if(ql<=mid)
    {
        int res=query(x<<1,l,mid,ql,qr,s,v);
        if(res!=-1)return res;
    }//优先递归左子区间，满足“从左到右考虑”
    if(qr>mid)
    {
        int res=query(x<<1|1,mid+1,r,ql,qr,s,v);
        if(res!=-1)return res;
    }
    return -1;
}

应用2

可以解决类似: "找到 最左边/最右边 并且满足 \(val_{pos}\le v\) 的位置 \(pos\)" 的问题。注意，这里 \(val\) 并不一定具有单调性。
这就是看起来不那么“二分”实际上偏向“分治”的“线段树二分”，不需要满足单调性（但也可以二分？）,或许还有其他的应用，但是暂时还没学到，日后来补充。

怎么做呢，我们对于线段树上面每一个节点记录一个 \(Min\) 代表这段区间的最小值，当一个节点被查询到的时候，我们优先考虑其左子节点（这里以“最左边”为例）的 \(Min\) 是否满足 \(Min\le v\)，如果是的话，就递归进左子结点进行查找；否则相同地去考虑右子节点，如果都无解，那么返回 \(-1\)。

inline int query(int x,int l,int r,int ql,int qr,ll lim)
{
    if(val[x]>lim)return -1;
    if(l==r)return l;
    int mid=l+r>>1;
    pd(x);
    if(ql<=mid)
    {
        int res=query(x<<1,l,mid,ql,qr,lim);
        if(res!=-1)return res;
    }
    if(qr>mid)
    {
        int res=query(x<<1|1,mid+1,r,ql,qr,lim);
        if(res!=-1)return res;
    }
    return -1;
}

更一般的，结合线段树维护的不同信息，线段树二分大概能做到求出 “第一个/最后一个 满足 某某条件” 的位置，例题：

1. CF817F MEX Queries
2. P4137 Rmq Problem / mex
3. AT_abc292_h