字符串算法与自动机

字符串算法与自动机

前言

觉得字符串这个东西本身应该有一个非常系统的体系，但是之前的学习一直都是零散的。

自动机

先说说什么是自动机，其实在OI Wiki上面已经十分完备了，这里以自己的理解再总结一遍。
自动机是一种数学模型，它所针对的对象是 “信号序列”，也就是一串 具有顺序 的信号，在 OI 方面基本上是以字符串的形式展现，判断一个串是否是给定串的前缀，是不是给定串的子序列......
自动机有以下的属性：

1. 字符集：限定的字符的集合。
2. 状态集合：所有的状态节点。
3. 起始状态：类比字典树的 \(0\) 号节点。
4. 接受状态集合：一组特殊的状态，如果最后停留在这些节点，说明这个 信号序列 是可以接受的。
5. 转移函数：\(\delta(i,c)\) ，表示在 \(i\) 这个节点，如果当前读入到 信号序列 中的字符是 \(c\) ，该向哪个节点转移。

Trie

字典树就是一个很典型的自动机，在根据某个串 \(s\) 遍历字典树的时候，我们都是根据当前的节点和当前遍历到的 \(s\) 的字符是什么来决定下一步往哪里走。

KMP

想一想求出了模式串的 \(nex\) 数组之后，匹配文本串的过程，实际上也还是在遍历文本串的同时，记录当前的位于的状态节点，然后根据当前遍历到的字符 \(c\) 来对状态节点进行转移。

ACAM

广义 KMP， \(nex\) 数组被扩展成了 \(fail\) 指针，这样 \(fail\) 指针就变成了转移函数 \(\delta\)。

子序列自动机

给定 \(s\) 这个字符串，对于任意的 \(t\) 串，只接受是 \(s\) 子串的 \(t\)，有一个很显然地贪心，那就是从左到右去枚举 \(t\) 的字符，然后尽量取 \(s\) 最靠做的能与之对应的字符匹配，于是我们可以倒着扫一遍，就能成功构建这个自动机。