线性求逆

线性求逆

简单来说就是 \(O(n)\) 时间内求出多个数的逆元。

推式子

假设模数是 \(p\) 。
现在要求 \(i^{-1}\) ，有 \(i\le p\) ，记 \(p=k\times i+r\) ，其中 $k=\lfloor{\frac{i}{p}}\rfloor,r=p \mod i $。
两边同时乘以 \(i^{-1},r^{-1}\) 并且放到模数意义下得到：\(i^{-1}=-\lfloor{\frac{i}{p}}\rfloor\times({p\mod i})\)。
然后就可以递推了。

阶乘的逆元公式

可以用exgcd求，也可以用费马小定理求。
首先需要知道 \((n+1)^{-1}\times (n+1) =n^{-1} \mod p\)，然后就可以先算出最大的数的逆元，然后倒着递推了。。

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long inv[4000010];
int main()
{
    long long  n,p;
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0),cout.tie(0);
    cin>>n>>p;
    inv[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;++i)inv[i]=(-p/i+p)%p*inv[p%i]%p;
    for(int i=1;i<=n;++i)cout<<inv[i]<<'\n';
    return 0;
}