CF2037E 题解

CF2037E 题解

题意

给定一个长度为 \(n\) 的 \(01\) 串，定义 \(f(l,r)\) 为 \(l\) 到 \(r\) 区间内 \(01\) 子序列的数量，通过最多 \(n\) 次交互，确定这个 \(01\) 串的构成。

分析

可以从莫队的思想，也就是增量，来思考如何解决。

如果说我们已经知道了 \(f(l,r)=ans\) ，接下来我们询问 \(f(l,r+1)\) 的值，相当于往 \([l,r]\) 的串的后面接了一个字符上去。

• 如果这一次询问的答案不同于 \(ans\) ，说明有新的 \(01\) 子序列产生，那么一定是引入了一个 \(1\) 导致的。
• 如果这一次询问的答案和 \(ans\) 相同，那么有两种情况。
  1. \(r+1\) 位引入的是一个 \(0\)
  2. \(r+1\) 位引入的是一个 \(1\) ，但是 \([l,r]\) 内一个 \(0\) 也没有。

为了方便，我们直接利用上述原理从左到右构建这个串，也就是从小到大地询问 \(f(1,i) , 2\le i\le n\) 的答案。

那么首先需处理第一个答案非零的位置，这说明当前这一位一定是 \(1\) ，并且前面是 \(11...100..0\) 的结构（因为前面的询问得到的答案都是 \(0\) ），具体来说，前面 \(0\) 的个数就是当前这一次询问的答案（注意前面不一定有 \(1\) ，但一定有 \(0\) ）。

接着我们就可以继续安心地询问了，由于我们确保了已经有若干个 \(0\) 出现在串中，那么如果当前得到的答案和上一次相同，当前位就一定是 \(0\) ；否则就是 \(1\) 。

唯一一种无解的情况，就是我们始终没有询问到一个非零的答案，这样的话这个串可能是 \(1111..1111\) ，或者 \(000..000\) ，亦或是 \(11..11000...000\) ，所以是无法确定的。

Code

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int n;
inline int q(int l,int r){cout<<"? "<<l<<' '<<r<<endl;int ans;cin>>ans;return ans;}
char s[100010];
inline void solve()
{
    cin>>n;
    int p=2,las_ans;
    while(p<=n)
    {
        int ans=q(1,p);
        if(ans!=0)
        {
            s[p]='1';
            for(int i=1;i<=p-1-ans;++i)s[i]='1';
            for(int i=p-ans;i<=p-1;++i)s[i]='0';
            las_ans=ans;
            p++;
            goto NEXTSTEP;
        }
        p++;
    }
    cout<<"! IMPOSSIBLE"<<endl;return ;
    NEXTSTEP:;
    while(p<=n)
    {
        int ans=q(1,p);
        if(ans==las_ans)
        {
            s[p]='0';
        }
        else 
        {
            s[p]='1';
            las_ans=ans;
        }
        p++;
    }
    cout<<"! ";
    for(int i=1;i<=n;++i)cout<<s[i];
    cout<<endl;
}
signed main()
{
    int T;
    cin>>T;
    while(T--)
        solve();
    return 0;
}