Exgcd学习笔记

Exgcd 学习笔记

引理

Bézout's theorem

对于 \(gcd(a,b)=d\) 的情况，一定 \(\exists x,y\) ，使得 \(ax+by=d\) 成立。相反的，当解方程 \(ax+by=c\) 时，若 \(c\) 不是 \(d\) 的倍数，那么此方程一定无解。

Exgcd 推导

我们知道如何通过辗转相除法求出 \(gcd(a,b)\) ，那么结合贝祖定理，不难发现方程 $bx+(a\mod b)y =d $ 和上述方程一定有相同的解，更极限地想，当 \(a\equiv0\mod b\) 时，方程变成了 \(a'x=d\) ，而根据辗转相除法，此时的 \(a'\) 一定等于 \(d\) ，所以解为 \(x=1,y=\text{any_number}\) ，假设我们在递归的过程中知道了当层的解，那么可不可以借此推至上一层的解呢？答案是肯定的。

\(a\mod b\) 实际上就是 \(a-\lfloor\frac{a}{b} \rfloor\times b\) ，那么方程经过一次迭代之后就变成了 \(bx+(a-\lfloor\frac{a}{b} \rfloor\times b)y=d\) ，整理一下就可以得到 ：
\(ay+b(x-\lfloor\frac{a}{b} \rfloor y)=c\) ,，此时方程达到同构，那么在我们知道 \(x,y\) 的值的情况下面就可以很自然地算出上一层递归中 \(x,y\) 的值分别是多少，这一效果在我们递归到刚刚提到的最后一层的时候就可以达到。

代码如下：（顺带求了个 \(gcd\) ）

inline int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
	if(b==0)
	{
		x=1,y=0;
		return a;
	}
	int tmpx,tmpy;
	int d=exgcd(b,a-(a/b)*b,tmpx,tmpy);
	x=tmpy,y=tmpx-(a/b)*tmpy; 
	return d;
}

如何获得一般解？

我们得到的不过是一组可行解，那么如何由这组可行解推知一般解呢？

考虑如下构造：

\[a(x_0+p)+b(y_0+q)=c \]

同时我们也有刚刚得到的 ：
\(ax_0+by_0=c\)

整理就可以得到 $ap+bq=0\iff p=-\frac{b}{a}q $ ，首先要使得其为整数，那么结合约分的过程，我们知道必要条件是 \(\frac{a}{gcd(a,b)}|q,\frac{b}{gcd(a,b)}|p\) ，两者只需要满足一个，另外一个就自动满足了。那么我们就可以得到 \(p,q\) 取值的一般形式：

\[\begin{cases}p=t\times \frac{b}{d}\quad x=x_0+p\\q=-t\times \frac{a}{d} \quad y=y_0+q\end{cases} \]

如何获得有限制的解

即一组正整数解，以及此时 \(x,y\) 各自的最大最小取值；或者没有正整数解的时候 \(x,y\) 分别的最小正整数取值。

通过令 \(x>0\) ，发现需要让 \(t>-x_0\times \frac{d}{b}\) ，那么 \(t\) 的最小值就是 \(\lfloor-x_0\times \frac{d}{b}\rfloor+1\)

同理令 \(y>0\) ，发现需要让 \(t<y_0\times \frac{d}{a}\) ， 那么 \(t\) 的最大值就是 \(\lceil y_0\times \frac{d}{a}\rceil-1\)

我们只需要去验证当 \(t\) 取到最小最大值的时候另一个数是否也为正整数即可，事实上我们只需要验证一组即可。

代码如下 :

inline void solve(int a,int b,int c)
{
	if(c%gcd(a,b)!=0)
	{
		puts("-1");		
		return ;	
	}
	int f=c/gcd(a,b),x,y;
	int d=exgcd(a,b,x,y);
	x*=f,y*=f;
	int t,tmpt;
	t=(int)floor(-1.0*d*x/b)+1;
	tmpt=(int)ceil(1.0*d*y/a)-1;
	if(y-t*a/d<=0)
		wr(x+t*b/d),putchar(' '),wr(y-tmpt*a/d),putchar('\n');
	else
		printf("%lld %lld %lld %lld %lld\n",abs(t-tmpt)+1,x+t*b/d,y-tmpt*a/d,x+tmpt*b/d,y-t*a/d);
}