Codeforces Round 1123 (Div. 2)
A Turn Into a Palindrome
给定字符串 \(s\) 和字符 \(x\)，每次操作可以选定字符串内任意一位替换为 \(x\)，求使 \(s\) 成为回文串的最少操作次数。
\(nt\leq 50000\)
考虑每对回文位置的数，若其中一个为 \(x\)，必然要把另一个改为 \(x\)，若两个都不一样，必然要把两个数均改为 \(x\)
B Fashionable Array
规定数组 \(a\) 的 \(mode\) 为 \(a\) 的众数中最大的一个。现给定数组 \(b\)，请重新排列 \(b\)，使得 \(b\) 的所有前缀数组的 \(mode\) 之和最大。
\(nt\leq 50000\) , \(b_i\leq100\)
只考虑最大的数，为了让总和最大化，必须要尽可能最大化最大的数作为 \(mode\) 出现的次数。可以想到如下方法：让最大的数首先出现一次，然后让其他的数各出现一次；随后再考虑剩余数中最大的数，重复上述步骤。容易证明每次考虑的最大的数是单调不增的，该贪心策略正确。
C GCD Treasury
给定数组 \(a\) 和数 \(x\)，规定一次操作为：
选择一个满足 \(a_i>0\) 且 \(\gcd(a_i,x)\neq 1\) 的 \(i\)，先将 \(a_i\) 减少 \(\gcd(a_i,x)\)，再将 \(x\) 赋值为 \(\gcd(a_i,x)\)
若没有可选的 \(i\)，则操作停止。求最大可能减少数量之和。
\(\sum n\leq 3\times 10^5\) , \(1\leq x,a_i\leq 3\times 10^5\)
容易想到对 \(x\) 质因数分解。发现仅有有共同质因数的数能被连续消去。所以考虑按质因数给 \(a_i\) 分组。有公共质因数的数能够被完全消去（证明：设 \(a_i=bp\) , \(x=ap\) , 则 \(a_i\) 可被完全消去且 \(x\) 变为 \(p\)，后续均可消去）。比较哪个质因数对应的结果最大即可。
D Backrooms Hill
规定一个数组是 \(hill\)，当且仅当其先严格递增，然后严格递减（只递增不递减或只递减不递增的数组也可以视为 \(hill\)）
准确地说，对于长度为 \(m\) 的数列 \(a\)，存在 \(1\leq k\leq m\)，当 \(1\leq i< k\) 时有 \(a_i<a_{i+1}\) ,且当 \(k\leq i<m\) 时，\(a_i>a_{i+1}\) 时，\(a\) 是一个 \(hill\)
你可以对给定数列 \(a\) 选定一个 \(i\)，交换 \(a_i\) 与 \(a_{i+2}\)。问能否在若干次操作后，使得给定数列成为一个 \(hill\)
\(\sum n\leq 2\times 10^5\)，保证给定数列是 \(n\) 的一个排列。
做力竭了。
题目里有关于性质的信息，一个是交换的特殊限制，一个是保证为 \(n\) 的排列。
这个排列有一个很好的性质：假设 \(a\) 是 \(hill\)，那么 \(a_n,a_{n-1},\dots,a_i\) 必定覆盖从 \(i\) 到 \(n\) 的全部数字（\(1\leq i\leq m\)）
证明：假设不符合，那么在 \(a_n,a_{n-1},\dots,a_i\) 中，一定会存在一个小于 \(i\) 的数，位于两个 \([i,n]\) 之间的数，这样会构成一个谷，不符合 \(hill\) 的定义。（特例：当仅有 \(a_i\) 不符合时，对于 \(1\leq j<i\) 的 \(a_j\)，必然有一个比 \(a_i\) 大，然而我们有 \(i\leq m\)，此时应是单调递增的，因此不符合 \(hill\) 的定义。）
接下来我们来考虑只能交换 \(a_i\) 和 \(a_{i+2}\) 这个限制。这说明奇下标和偶下标是互不连通的。这是本题交换的唯一限制。
综合以上两个条件，可以得出一个方法：从 \(n\) 到 \(1\) 依次判断所在原下标的奇偶性。由于现在我们还不确定 \(m\) 的值，所以也不确定性质一从何处开始生效。因此我们需要找一些新的性质：
- 当 \(i=m\) 时，根据性质一与定义，可以得到 \(a_j=j\ (m\leq j\leq n)\)，因此，当位于 \(m\) 之前时，必须保证我们从 \(n\) 到 \(1\) 依次判断的过程中，奇下标与偶下标交替出现，也就是二者数量差不超过 \(1\)
- 假设性质一是成立的，我们确定 \(m\) 以后，仍然可以视作需要满足 \(a_j=j\ (i\leq j\leq n,\ 1\leq i\leq m)\)，实际上这个 \(m\) 并没有造成什么影响
因此按上述做法判断奇下标与偶下标之差即可
https://codeforces.com/contest/2267/submission/392956488
看讨论还有一种纯模拟做法。似乎是贪心+特判一堆情况。本质石山。看似石山实则我一开始就想这么做。
这一篇是 DP 模拟填数的。其实也差不多。核心就是奇偶性。然后从最中间的 \(n\) 开始填。
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