好玩的数学题（不定期更新）

5.26 周测

8 (\(5\) 分) \(f(x)=3log_{2}(\sqrt{x^{2}+1}-x)\)，正数 \(a,b\) 满足 \(f(a)+f(3b-1)=0\)，求 \(\frac{3b+a}{ab}\) 的最小值.

14 (\(5\) 分) 三角形 \(ABC\) 中，\(tan\ A=3tan\ B\)，设 \(A-B\) 的最大值为 \(\phi\). 若 \(f(x)=sin(\omega x+\phi)\) 在 \([-\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{6}]\) 单调递增，求 \(\omega\) 的最大值.

19 (\(17\) 分) 定义 \(cosh(x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}\) ,\(sinh(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}\) ,\(tanh(x)=\frac{sinh(x)}{cosh(x)}\)

\(\texttt{(1)}\) 写出 \(y=tanh(x)\) 的单调区间与值域.

\(\texttt{(2)}\) 关于 \(y\) 的不等式 \((a^{2}+3)\ cosh(\frac{1-cos\ 2x}{1+cos\ 2x})>4a\ sinh(tan^{2}\ x)\) 恒成立，求 \(a\) 的取值范围.

\(\texttt{(3)}\) 点 \(A(cosh(\theta),sinh(\theta))\)，\(B(\sqrt{2},0)\)，\(C=(-\sqrt2,0)\)，求三角形 \(ABC\) 的内心横坐标.

杂项

1 求 \((C^{0}_{34}+C^{2}_{34}+...+C^{34}_{34})\ mod\ 9\) 的值.