最小生成树Prim算法理解

MST（Minimum Spanning Tree，最小生成树）问题有两种通用的解法，Prim算法就是其中之一，它是从点的方面考虑构建一颗MST，大致思想是：设图G顶点集合为U，首先任意选择图G中的一点作为起始点a，将该点加入集合V，再从集合U-V中找到另一点b使得点b到V中任意一点的权值最小，此时将b点也加入集合V；以此类推，现在的集合V={a，b}，再从集合U-V中找到另一点c使得点c到V中任意一点的权值最小，此时将c点加入集合V，直至所有顶点全部被加入V，此时就构建出了一颗MST。因为有N个顶点，所以该MST就有N-1条边，每一次向集合V中加入一个点，就意味着找到一条MST的边。

 

用图示和代码说明：

初始状态：

设置2个数据结构：

lowcost[i]:表示以i为终点的边的最小权值,当lowcost[i]=0说明以i为终点的边的最小权值=0,也就是表示i点加入了MST

mst[i]:表示对应lowcost[i]的起点，即说明边<mst[i],i>是MST的一条边，当mst[i]=0表示起点i加入MST

 

我们假设V1是起始点，进行初始化（*代表无限大，即无通路）：

 

lowcost[2]=6，lowcost[3]=1，lowcost[4]=5，lowcost[5]=*，lowcost[6]=*

mst[2]=1，mst[3]=1，mst[4]=1，mst[5]=1，mst[6]=1，（所有点默认起点是V1）

 

明显看出，以V3为终点的边的权值最小=1，所以边<mst[3],3>=1加入MST

此时，因为点V3的加入，需要更新lowcost数组和mst数组：

 

lowcost[2]=5，lowcost[3]=0，lowcost[4]=5，lowcost[5]=6，lowcost[6]=4

mst[2]=3，mst[3]=0，mst[4]=1，mst[5]=3，mst[6]=3

 

个人理解：这时就是把v1和v3当作一个广义节点来看了，从将lowcost数组中的值设置为0也能看出来。然后找各个节点和这个广义节点之间的最短距离（lowcost数组内部比较），但是还要分清到底是v1还是v3的，才能生成树，所以用对应的mst数组来记录。

 每次只需要比较旧的lowcost数组中的数据与新加入的节点和各个节点间的距离，就能保持lowcost数组为最新的，并且别忘了更新对应的mst数组。

找到新节点，加入广义节点，这样每一步找的节点都是最近的，所以这个算法应该算是贪心算法。而且也保证了是树，因为每个新节点都和广义节点之间只有一个路径。

 

明显看出，以V6为终点的边的权值最小=4，所以边<mst[6],6>=4加入MST

 

此时，因为点V6的加入，需要更新lowcost数组和mst数组：

 

lowcost[2]=5，lowcost[3]=0，lowcost[4]=2，lowcost[5]=6，lowcost[6]=0

mst[2]=3，mst[3]=0，mst[4]=6，mst[5]=3，mst[6]=0

 

 

明显看出，以V4为终点的边的权值最小=2，所以边<mst[4],4>=4加入MST

 

此时，因为点V4的加入，需要更新lowcost数组和mst数组：

 

lowcost[2]=5，lowcost[3]=0，lowcost[4]=0，lowcost[5]=6，lowcost[6]=0

mst[2]=3，mst[3]=0，mst[4]=0，mst[5]=3，mst[6]=0

 

明显看出，以V2为终点的边的权值最小=5，所以边<mst[2],2>=5加入MST

 

此时，因为点V2的加入，需要更新lowcost数组和mst数组：

 

lowcost[2]=0，lowcost[3]=0，lowcost[4]=0，lowcost[5]=3，lowcost[6]=0

mst[2]=0，mst[3]=0，mst[4]=0，mst[5]=2，mst[6]=0

 

很明显，以V5为终点的边的权值最小=3，所以边<mst[5],5>=3加入MST

 

lowcost[2]=0，lowcost[3]=0，lowcost[4]=0，lowcost[5]=0，lowcost[6]=0

mst[2]=0，mst[3]=0，mst[4]=0，mst[5]=0，mst[6]=0

 

至此，MST构建成功，如图所示：

根据上面的#include<iostream>

#include<fstream>
using  namespace std;
 
#define MAX 100
#define MAXCOST 0x7fffffff
 
int graph[MAX][MAX];
 
int prim(int graph[][MAX], int n)
{
    int lowcost[MAX];
    int mst[MAX];
    int i, j, min, minid, sum = 0;
    for (i = 2; i <= n; i++)
    {
        lowcost[i] = graph[1][i];
        mst[i] = 1;
    }
    mst[1] = 0;
    for (i = 2; i <= n; i++)//v1初始化时工作完成了，这里从v2开始
    {
        min = MAXCOST;
        minid = 0;
for (j = 2; j <= n; j++)//内部比较，找出距离广义节点最近的顶点，记录下这个距离和顶点号
        {
            if (lowcost[j] < min && lowcost[j] != 0)
            {
                min = lowcost[j];
                minid = j;
            }
        }
        cout << "V" << mst[minid] << "-V" << minid << "=" << min << endl;
        sum += min;
        lowcost[minid] = 0;//代表加入了广义节点
for (j = 2; j <= n; j++)//因为广义节点便了，所以距离各个节点的距离要更新，看新加入的节点距离其他未加入的节点的距离是不是更近
        {
            if (graph[minid][j] < lowcost[j])
            {
                lowcost[j] = graph[minid][j];
                mst[j] = minid;
            }
        }
    }
    return sum;
}
 
int main()
{
    int i, j, k, m, n;
    int x, y, cost;
    ifstream in("input.txt");
    in >> m >> n;//m=顶点的个数，n=边的个数
    //初始化图G
    for (i = 1; i <= m; i++)
    {
        for (j = 1; j <= m; j++)
        {
            graph[i][j] = MAXCOST;
        }
    }
    //构建图G
    for (k = 1; k <= n; k++)
    {
        in >> i >> j >> cost;
        graph[i][j] = cost;
        graph[j][i] = cost;
    }
    //求解最小生成树
    cost = prim(graph, m);
    //输出最小权值和
    cout << "最小权值和=" << cost << endl;
    system("pause");
    return 0;
}

 

Input：

6 10
1 2 6
1 3 1
1 4 5
2 3 5
2 5 3
3 4 5
3 5 6
3 6 4
4 6 2
5 6 6

Output：

V1-V3=1
V3-V6=4
V6-V4=2
V3-V2=5
V2-V5=3
最小权值和=15
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