题解 P2822 组合数问题

本题出处：NOIP2016提高组Day2T1

\(90\)分做法：先用\(Pascal\)公式在模\(k\)意义下\(O(2000^2)\)预处理出所有数据范围内的组合数。对于每一个询问，暴力枚举\(i\)和\(j\)的值，如果在模\(k\)意义下此时有\(\C_i^j=0\)，说明\(\C_i^j\)是\(k\)的倍数。暴力更新并统计答案即可。

\(code:\)

#include<bits/stdc++.h>//P2822 组合数问题
using namespace std;
#define re register
#define ll long long
#define il inline
#define dou double
#define un unsigned
il int read()
{
	char c=getchar();int x=0,f=1;
	while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
	while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+c-'0';c=getchar();}
	return x*f;
}
#define INF 114514114
#define clr(x) memset(x,0,sizeof(x))
#define N 2000+10
#define M 2000+10
#define T 10000+10
int t,k,ans;
int n[T],m[T];
ll C[N][M];
il void pascal()
{
	for(re int i=0;i<=2000;i++)
	{
		C[i][0]=1;
		for(re int j=1;j<=i;j++)
			C[i][j]=(C[i-1][j]%k+C[i-1][j-1]%k)%k;
	}
}
int main()
{
	t=read();k=read();
	pascal();
	for(re int i=1;i<=t;i++)
	{
		ans=0;
		n[i]=read();m[i]=read();
		for(re int j=0;j<=n[i];j++)
		{
			for(re int k=0;k<=min(j,m[i]);k++)
			{
				if(C[j][k]==0)ans++;
			}
		}
		cout<<ans<<endl;
	}
	return 0;
}

\(100\)分做法：先用\(Pascal\)公式在模\(k\)意义下\(O(2000^2)\)预处理出所有数据范围内的组合数。对于每一个询问，由于\(0\leq i\leq n\)，因此\(0\leq j\leq min(i,m)\)就等价于\(0\leq j\leq min(n,m)\)。也就是说，我们只需要求出在\(0\leq i\leq n\)，\(0\leq j\leq min(n,m)\)范围内的答案数即可。

如果暴力枚举\(i\)和\(j\)并暴力统计更新答案显得太慢。考虑使用二维前缀和维护。可以在用\(Pascal\)公式求组合数的同时维护二维前缀和的值。令\(s[x][y]\)表示在\(0\leq i\leq x\)，\(0\leq j\leq y\)范围内的答案数，那么有转移\(s[x][y]=s[x-1][y]+s[x][y-1]-s[x-1][y-1]+[C[x][y]==0]\)。最后输出\(s[n][min(n,m)]\)的值即可。

\(code:\)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define re register
#define ll long long
#define il inline
#define dou double
#define un unsigned
il int read()
{
	char c=getchar();int x=0,f=1;
	while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
	while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+c-'0';c=getchar();}
	return x*f;
}
#define INF 114514114
#define clr(x) memset(x,0,sizeof(x))
#define N 2000+10
#define M 2000+10
#define T 10000+10
int t,k,n,m;
int c[N][M],s[N][M];
il void pascal()
{
	for(re int i=0;i<=2000;i++)
	{
		c[i][0]=1;
		for(re int j=1;j<=i;j++)
		{
			c[i][j]=(c[i-1][j]%k+c[i-1][j-1]%k)%k;
			s[i][j]=s[i-1][j]+s[i][j-1]-s[i-1][j-1];
			if(c[i][j]==0)s[i][j]++;
			s[i][j+1]=s[i][j];
		}
	}
}
int main()
{
	t=read();k=read();
	pascal();
	for(re int i=1;i<=t;i++)
	{
		n=read();m=read();
		cout<<s[n][min(n,m)]<<endl;
	}
	return 0;
}