离散数学（四）

1. 关于命题的公式

(1) 双重否定律

 

A⟺┐┐AA⟺⌝⌝A

 

(2) 幂等律

 

A⟺A∨AA⟺A∧AA⟺A∨AA⟺A∧A

 

(3) 交换律

 

A∨B⟺B∨AA∧B⟺B∧AA∨B⟺B∨AA∧B⟺B∧A

 

(4) 结合律

 

(A∨B)∨C⟺A∨(B∨C)(A∨B)∨C⟺A∨(B∨C)

 

 

(A∧B)∧C⟺A∧(B∧C)(A∧B)∧C⟺A∧(B∧C)

 

(5) 分配律

 

A∨(B∧C)⟺(A∨B)∧(A∨C)(∨对∧的分配律)A∨(B∧C)⟺(A∨B)∧(A∨C)(∨对∧的分配律)

 

 

A∧(B∨C)⟺(A∧B)∨(A∧C)(∧对∨的分配律)A∧(B∨C)⟺(A∧B)∨(A∧C)(∧对∨的分配律)

 

(6) 德摩根律

 

┐(A∨B)⟺┐A∧┐B⌝(A∨B)⟺⌝A∧⌝B

 

 

┐(A∧B)⟺┐A∨┐B⌝(A∧B)⟺⌝A∨⌝B

 

(7) 吸收律

 

A∨(A∧B)⟺AA∨(A∧B)⟺A

 

 

A∧(A∨B)⟺AA∧(A∨B)⟺A

 

(8) 零律

 

A∨1⟺1A∨1⟺1

 

 

A∧0⟺0A∧0⟺0

 

(9) 同一律

 

A∨0⟺0A∨0⟺0

 

 

A∧1⟺1A∧1⟺1

 

(10) 排中律

 

A∨┐A⟺1A∨⌝A⟺1

 

(11) 矛盾律

 

A∧┐A⟺0A∧⌝A⟺0

 

(12) 蕴涵等值式★★★★★★

 

A⟹B⟺┐A∨BA⟹B⟺⌝A∨B

 

(13) 等价等值式

 

(A⟺B)⟺(A⟹B)∧(B⟹A)(A⟺B)⟺(A⟹B)∧(B⟹A)

 

(14) 假言易位 

 

A⟹B⟺┐B⟹┐AA⟹B⟺⌝B⟹⌝A

 

(15) 等价否定等值式

 

A⟺B⟺┐A⟺┐BA⟺B⟺⌝A⟺⌝B

 

(16) 归谬论

 

(A⟹B)∧(A⟹┐B)⟺┐A(A⟹B)∧(A⟹⌝B)⟺⌝A

 

2. 联结词完备集

　　定义：一个联结词集合(如┐、∨、∧⌝、∨、∧)，若对任何一个公式均可以用该集合中的联结词来表示或等值表示，就称为联结词完备集。 

　　如果该集合任意去掉一个联结词，就不再具备这种特性，就称为最小完备集。

3. 与非联结词

　　定义：设p、qp、q为两个命题，符合命题“pp与qq的否定式”(“pp或qq的否定式”)称作p,qp,q的与非式(或非式)，记作p↑qp↑q(p↓qp↓q)。符号↑↑(↓↓)称作与非联结词(或非联结词)，p↑qp↑q为真当且仅当pp与qq不同时为真(p↓qp↓q为真当且仅当pp与qq同时为假)

4. 自然推理系统

　　定义：一个形式系统II由下面四个部分组成：

(1) 非空的字母表，记作A(I)A(I)

(2) A(I)A(I)中符号构造的合式公式集，记作E(I)E(I)

(3) E(I)E(I)中一些特殊的公式组成的公理集，记作AX(I)AX(I)

(4) 推理规则集，记作R(I)